16.5. Энергетический подход

Используем для решения рассмотренной в предыдущем параграфе задачи энергетический подход. Для этого введем понятие полной энергии стержня. Прежде всего из (16.14) и рис. 16.1 видно, что работа сжимающей силы на сближении концов стержня равна

Под полной энергией тела принимают разность энергии деформации тела и работы действующих на тело сил (см. параграф 16.15). Согласно данному определению и соотношениям (16.33) и (16.5) имеем, пренебрегая энергией растяжения

С учетом малости угла у, второго из соотношений (16.27) и (16.28) имеем при

Полная энергия прямолинейной формы равновесия равна нулю. При растяжении стержня при изогнутой форме равновесия полная энергия больше, чем при прямолинейной. Считая, что стержень из двух смежных равновесных конфигураций «выбирает» отвечающую меньшей полной энергии, следует положить, что при растяжении стержня устойчива неизогнутая форма равновесия.

При возрастании сжимающей силы х достигает значения х такого, что при полная энергия изогнутого стержня становится отрицательной. Это означает, что прямолинейная форма равновесия, обладающая большей (нулевой), чем изогнутая, полной энергией, становится неустойчивой. Согласно (16.35) началу потери устойчивости отвечает т. е.

Добавляя сюда геометрические концевые условия

можно рассматривать соотношения (16.36), (16.37) как экстремальную здачу: на множестве непрерывных с непрерывной производной функций, удовлетворяющих концевым условиям (16.37), найти отвечающее минимальному значению выражения (16.36).

Поскольку минимальное значение является, вообще говоря, и стационарным, рассмотренной экстремальной отвечает и вариационная задача: определить стационарное значение выражения (16.36) на множестве непрерывных с непрерывной производной вариаций удовлетворяющих геометрическим концевым условиям

Поскольку

приравнивание нулю полученного выражения дает с учетом (16.36) искомую запись вариационной задачи

Интегрирование по частям с учетом концевых условий приводит к другой форме записи вариационной задачи:

В силу произвольности на оси стержня и на ее концах из (16.40) следуют уравнение

и концевые условия

Нетрудно видеть, что соотношения (16.41), (16.42) по существу совпадают с (16.27), (16.29). Тем самым показана эквивалентность вариационного подхода и рассмотренного в параграфе 16.4 статического метода Эйлера. Так что и вариационный метод приводит опять же к первой эйлеровой силе. Но при этом вариационный метод показывает устойчивость изогнутой формы равновесия.

Вариационное уравнение (16.39) или (16.40) дает возможность отыскать приближенное значение критической сжимающей силы При этом конкурирующие (координатные) функции и их вариации должны удовлетворять геометрическим концевым условиям (16.37)-(16.38). Что касается динамических концевых условий (16.42), то им можно заранее не удовлетворять. Они следуют (как было показано выше) из вариационного уравнения и являются (как говорят) естественными. Сказанное относится и к экстремальной задаче.

Примем, например, выражение

удовлетворяющее условиям (16.37). Его подстановка в (16.36) дает

где, напомним, первая эйлерова сила. Точность определения критической силы не так уж и плоха, если учесть грубость задания прогиба выражением (16.43). Примем далее выражение

также удовлетворяющее геометрическим концевым условиям (16.37). Подстановка его в выражение (16.36) дает

То, что здесь получено точное значение критической силы, не случайно, поскольку выражение для прогиба (16.44) было «угадано» точно при

Значение критической силы (16.43) можно уточнить, принимая для прогиба, например, выражение

где подлежащие определению из вариационного уравнения (16.39) или (16.40) константы. Более подробно о применении вариационного метода к определению критических значений внешних сил для упругих систем см. в работе [8].