Глава 1. О ТЕНЗОРАХ ВТОРОГО РАНГА

В этой книге рассмотрены в основном тензоры второго ранга. Кратко изложена теория таких тензоров. Для простоты использованы прямоугольные декартовы координаты. Читателя, желающего более обстоятельно ознакомиться с теорией тензорных функций, отсылаем к работам [9, 12, 45].

1.1. Вектор

Отнесем пространство (обычное) к прямоугольным декартовым координатам Координатные векторы — орты удовлетворяют условиям ортонормированности

Вектор — величину, обычно ассоциируемую с направленным отрезком в пространстве, удобно представить в виде следующего разложения:

где компоненты вектора, представляющие вектор в выбранной системе координат или, как говорят, в ортонормированном координатном векторном базисе

Кроме того, для краткости записи принимается следующее правило суммирования: по каждому повторяющемуся греческому (не по латинскому!) индексу производится суммирование от 1 до 3.

Наряду с рассмотрим еще одну, также прямоуголь декартову систему координат с координатным векторным базисом связанным со старым соотношениями

Применяя условия ортонормированности (1.1) к старым и новым ортам, получаем

т. е. косинусы углов связаны условиями ортонормированности (второе из них выводится аналогично)

Отсюда и из соотношений (1.3) следуют обратные выражения для старых ортов через новые. Прежде всего -Суммируя эти равенства по от 1 до 3, получаем

Подстановка полученного выражения в разложение (1.2) приводит к закону преобразования компонент вектора

совпадающему с законом преобразования координатных ортов (1.3).

Отметим, что зависящие от выбора системы координат компоненты вектора представляют вектор — величину инвариантную (т. е. не зависящую от выбора системы координат). С помощью соотношений (1.6), (1.4) нетрудно проверить, что величина

также является инвариантом. Это, конечно, ясно и без проверки, поскольку -длина вектора.

Пару векторов ааеа и можно скалярно перемножать. При этом согласно (1.1)

Изложенные в этом параграфе и, конечно, хорошо известные читателям зависимости позволяют по аналогии рассмотреть инвариантный объект более сложной структуры — тензор.