17.11. Нелинейно-упругий ортотропный материал

Ортотропия — наиболее распространенный в природе и технике вид анизотропии. Она и будет рассматриваться ниже. При преобразовании отражения в плоскости, перпендикулярной к третьей оси, имеем, очевидно,

Нетрудно видеть, что упругий потенциал не меняет своего вида при рассмотренном преобразовании, коль скоро его аргументами являются комбинации

Совершенно аналогично при преобразованиях отражения в двух других плоскостях инвариантность упругого потенциала обеспечивается соответственно комбинациями

Ортотропный материал, имея в каждой своей точке три ортогональные между собой плоскости симметрии, должен содержать в качестве аргументов упругого потенциала инвариантные

комбинации, общие для (17.62)-(17.64). Таким образом,

Согласно (6.68)

Сопоставление выписанного выражения с аргументами упругого потенциала (17.65) показывает, что подчеркнутый аргумент можно заменить на так что (в симметричном по индексам виде) можно принять

Отсюда и из (17.51) получаем для сжимаемого материала с криволинейной ортотропией

Потребуем, чтобы при малых деформациях выписанный закон переходил в закон Гука (17.40). Прежде всего согласно (17.52) имеются переходы

Индексом «нуль» обозначены значения величин при при отсутствии деформации.

Подстановка полученных выражений в (17.68) дает при сохранении членов, линейных по

(см. скан)

Сопоставление полученных выражений с (17.40) приводит к соотношениям, обеспечивающим переход закона упругости при малых деформациях в закон Гука:

(см. скан)

По аналогии с (17.40) можно ввести ортотропный сжимаемый стандартный материал

отвечающий упругому потенциалу

Несжимаемый материал с криволинейной ортотропией имеет согласно (17.54) и (17.66) следующий закон упругости:

Исключая с помощью третьего уравнения используя соотношения (17.69), (17.70) и (17.42), приходим, как и выше, к условиям перехода закона упругости (17.71) при малых деформациях в закон Гука (17.42):

(см. скан)

С учетом (17.42) и (17.52) можно ввести ортотропный несжимаемый стандартный материал:

Для сжимаемого ортотропного материала в плоском напряженном состоянии имеем согласно (17.56)-(17.58) и (17.67):

Последнее уравнение служит для определения

Для несжимаемого ортотропного материала в плоском напряженном состоянии имеем согласно (17.61), (17.67) (при опущенном

Здесь согласно (17.59)

Нетрудно проверить, что соотношения (17.72) при опущенных двух последних обеспечивают переход при малых деформациях уравнений (17.73) в закон Гука (17.45).