16.6. Метод несовершенств (деидеализации)

Рассмотренная в предыдущих параграфах задача, безусловно, носит идеализированный характер, поскольку предполагаются идеально прямая форма оси стержня, строго осевая направленность сжимающих сил, идеальные условия закрепления концов стержня и т. п. В реальных задачах, схематизируемых продольно сжатым стержнем, всегда существуют возмущения (отклонения от) принимаемой идеальной схемы. Выясним, как сказываются возмущения на критической сжимающей силе и что, собственно, следует понимать при этом под последней?

Рис. 16.2

Для этого рассмотрим задачу параграфа 16.4, осложнив ее, например, наличием малых эксцентриситетов приложения сжимающих сил. Из рис. 16.2 видно, что

Составляя условия равенства нулю главного момента всех действующих на стержень сил и моментов, находим

Уравнения (16.8), (16.6) при и (16.9) принимают вид

Из второго соотношения (16.45), (16.17) следует

Полученные соотношения приводят к следующей неоднородной задаче:

Общее решение уравнения (16.46)

подчиненное концевым условиям (16.47), дает

Интегрирование уравнения (16.48) при концевых условиях (16.49) приводит к следующему выражению для прогиба:

Вводя постоянные

преобразуем (16.50) к виду

Рассмотрим частный случай При этом из (16.50) следует

Из выполненного по последней формуле рис. 16.3 видно, что в отличие от рассмотренного в параграфе 16.4 идеального случая изгиб стержня начинается сразу же после приложения сжимающей силы Прогиб резко увеличивается при т. е. при приближении сжимающей силы к первой эйлеровой силе.

Рис. 16.3

Рис. 16.4

Таким образом, для рассматриваемой несовершенной (деидеализирован-ной) системы в качестве критической следует принимать сжимающую силу, при которой резко возрастает прогиб стержня.

Любопытным является случай антисимметричного возмущения (рис. 16.4). При этом и

Для амплитуды прогиба имеем отсюда

Отвечающий этой формуле рис. 16.5, а не имеет никаких особенностей при при первой эйлеровой силе. Другими словами, приложение сколь угодно малой концевой пары позволяет «пройти» первую эйлерову силу — результат, физически явно неправдоподобный. В книге [42, стр. 88] Я. Г. Пановко «восстанавливает в правах» первую эйлерову силу, рассматривая устойчивость решения (16.51). Еще проще этот вопрос можно решить, заметив, что (16.51) не является полным решением задачи.

Рис. 16.5

Нетрудно видеть, что к решению задачи (16.46)-(16.49) можно добавить ряд

Здесь

В рассматриваемом нами интервале изменения к решению (16.51) добавляется слагаемое где, как и в параграфе произвольная константа. Таким образом, имеет место уже хорошо известная читателю ситуация, показанная на рис. 16.5, б: бифуркация решения возможна и для неидеальной (возмущенной) конфигурации.

Отметим, что рассмотренный случай антисимметричного возмущения ничуть умаляет значимости метода несовершенств (деидеализации). Напомним, что смысл метода состоит в отходе от идеальной постановки задачи, а только что рассмотренный случай является новой (антисимметричной) идеализацией: (точно!). Видимый парадокс появился в результате введения новой идеализации.

Другим проявлением несовершенств может служить начальная погибь оси стержня. Считая погибь малой и симметричной относительно середины оси, имеем с учетом (15.94)

Отсюда и из соотношений (16.8), (16.9) и (16.17) получаем уравнение

Используем следующие разложения по собственным формам прогиба идеального (без начальной погиби) стержня:

Подставляя их в (16.52) и сравнивая коэффициенты при каждой гармонике, приходим с учетом (16.28) и (16.32) к

При определяющим в выражении для является первое слагаемое. Так что можно считать

Для определения коэффициента может служить экспериментально теоретический метод Саусвелла [3, стр. 133], основанный на следующей из (16.54) линейной связи между и левой частью выражения

Рис. 16.6

Измеряя дополнительный прогиб середины стержня при нескольких значениях можно провести прямую (рис. 16.6). Согласно (16.55) прямая отсекает отрезки Отсюда и следует выражение для безразмерной амплитуды начальной погиби

Изложенный метод позволяет проводить неразрушающее испытание стержня на сжатие. Определив по начальному этапу нагружения можно, используя формулу (16.54), прогнозировать поведение стержня при дальнейшем возрастании нагрузки.

Отметим, что, как и в случае эксцентриситета приложения сжимающей силы, метод несовершенств (деидеализации) и здесь приводит [см. формулу (16.54)] к критическому значению сжимающей силы, равному первой эйлеровой силе.