1.4. Классические тензорные функции

Обычные скалярные функции допускают естественное обобщение на случай, когда аргумент и значение функции являются тензорами (у нас — второго ранга). Переходя к этому обобщению, будем считать вначале, что главные значения тензора-аргумента некратные и вещественные. Итак, примем для тензора канони-еское представление (1.25а). Из него и (1.9) вытекает следующее представление для степени Т:

Теперь с произвольным скалярным полиномом

можно сопоставить тензорный полином

Рассмотрим так называемый характеристический полином

обращаемый в нуль согласно (1.39) главными значениями тензора (1.15)

С учетом этого, полагая в приходим к тождеству Гамильтона — Кэли

Тождество Гамильтона — Кэли позволяет снижать (редуцировать) порядок любого тензорного полинома до второго. Таким образом, по существу можно ограничиться рассмотрением тензорных полиномов второго порядка.

Будем называть классической тензорной функцией тензорный полином второго порядка удовлетворяющий соотношениям

Таким образом, отвечающий тензорному полиному скалярный полином второго порядка должен совпадать с порождающей скалярной функцией на множестве (спектре) главных значений тензора-аргумента.

Нетрудно проверить, что условию (1.41) удовлетворяет так называемый интерполяционный полином Лагранжа — Сильвестра

и, стало быть, по данному определению классической тензорной функции

Представление функции получено нами, исходя из канонического разложения (1.25а). Но оно справедливо для любого тензора с некратными главными значениями [12, 45].

В качестве приложения полученных зависимостей подсчитаем где К — кососимметричный тензор (1.30). Составляя для К характеристическое уравнение (1.14)

находим

и по

Подставляя сюда тензоры (1.30), (1.32) и получаем

Сопоставление полученного выражения с (1.34) показывает, что ортогональный тензор первого рода. Таким образом,

ортогональный тензор первого рода выражается через косо-симметричный К соотношением

С вектором большого поворота абсолютно твердого тела

обычно связывают кососимметричную матрицу

Подставляя ее в отвечающее (1.43) матричное равенство (I — единичная матрица, )

получаем

Выясним геометрический смысл величин Для этого направим третью координатную ось вдоль оси поворота. При этом и согласно (1.46)

Отсюда и из рис. 1.2 усматривается, что матрица косинусов углов поворота, отвечающих вектору углов поворота (1.44). Поэтому ортогональный тензор первого рода можно рассматривать как тензор поворота. Для абсолютно твердого тела компоненты тензора поворота — постоянные величины. Для деформируемого же тела компоненты могут зависеть от координат. В этом случае следует говорить о повороте материальной частицы.

Рис. 1.2

Из (1.46) усматриваются полезные зависимости

определяющие вектор поворота по известным косинусам углов поворота.