3.5. Закон Гука и его обобщение на большие деформации

Будем считать деформации малыми. С учетом упрощений (2.58), (2.57) выражение (3.16) для можно записать в виде

В силу малости компонент сохраним в написанном соотношении лишь линейные по ним слагаемые. Для этого следует прежде всего отбросить подчеркнутый член. Структура оставшихся членов показывает, что упругий потенциал может содержать инвариант в степени, не выше второй, а не выше первой, так что

Пусть при отсутствии деформации равны нулю и напряжения, т. е. отсутствуют начальные напряжения. При этом, очевидно, Заменяя обозначения постоянных приходим к закону Гука для изотропного материала

отвечающему квадратичному по компонентам деформации упругому потенциалу

Здесь упругие постоянные Ламе, связанные с модулем Юнга коэффициентом Пуассона модулем сдвига и модулем объемной деформации К соотношениями

Вернемся к упругим законам, установленным в параграфах 3.2, 3.4. Естественно потребовать, чтобы при малых деформациях они переходили в закон Гука (3.33). Выявим ограничения на упругие потенциалы, обеспечивающие автоматическое выполнение этого требования. При малых деформациях согласно (2.59), (2.60)

и закон упругости (3.13) приводится к виду

В силу предположенной в параграфе 3.2 симметричности потенциала по его аргументам

и предыдущие равенства преобразуются к виду

Закон Гука в главных осях имеет вид [см. (3.33)]

Сопоставление равенств (3.36) и (3.37) приводит к ограничениям на упругий потенциал сжимаемого материала

Для несжимаемого материала закон Гука записывается в виде

и сопоставление с выражением (3.36) приводит к ограничению на потенциал для несжимаемого материала

С учетом выражений (3.14) нетрудно записать полученные ограничения в терминах главных инвариантов. Так, для сжимаемого материала соотношения (3.38) переходят в следующие:

где использованы обозначения

в частности, для степенных мер деформации

Для несжимаемого материала ограничение (3.39) переходит в следующее:

Согласно первому из равенств (2.58) тензор переходит при малой деформации в линейный тензор деформации Поэтому, подставляя его инварианты в упругий потенциал, отвечающий закону Гука, получаем так называемый стандартный материал порядка, определенный для произвольной деформации и переходящий в закон Гука при малой деформации. При этом согласно (3.34), (3.19), (3.20)

Стандартный материал 1-го порядка называют материалом Джона [81] или полулинейным [32]. Для него согласно (3.42) и (2.6)

Для практического использования обычно более удобен стандартный материал 2-го порядка для которого согласно (3.42) и (2.6), (2.16)

Отметим, что стандартные законы не являются линейными по компонентам деформации [см. вторые выражения в (3.42)-(3.44)], несмотря на то что упругий потенциал связан с законом Гука

Объясняется это тем, что в приведенных соотношениях связываются величины, не являющиеся энергетическими парами.

Умножим скалярно последнее из выражений (3.44) справа на В результате приходим к первому из следующих, выводимых аналогично, соотношений:

Из полученных выражений, а также из (2.45) усматривается, что для энергетических пар упругие законы линейны относительно компонент тензора деформации. К сожалению, выявленные пары (3.45) не содержат входящие в уравнения движения тензоры Это в значительной мере обесценивает стандартные материалы.

Более того, вряд ли стандартным материалам отвечают какие-либо реальные материалы. В литературе имеется и прямое указание на «нефизичность» материала Джона при некоторых видах деформации. В частности, он, вообще говоря, не определен при т. е. для несжимаемого материала. Широкое использование материала Джона в отечественных работах по нелинейной теории упругости объясняется, по-видимому, вполне объяснимым желанием избавиться в сложной нелинейной задаче от физической нелинейности.

Как представляется автору, область применимости стандартных материалов следует ограничить случаем малых деформаций при больших (не малых) углах поворота. Этот случай реализуется для гибких тел (стержней, пластин, оболочек), где, кстати, значение уже не вызывает осложнений. Существенно, что в выделенном случае вследствие больших поворотов линейный тензор не характеризует деформацию, в то время как стандартные материалы при своей структурной простоте содержат характеристики деформации. Стандартный материал 2-го порядка особенно удобен для использования в криволинейной материальной системе координат (см. гл. 11—15).