14.6. Осесимметрично деформируемая оболочка вращения (двуосная зона)

Рассмотрим задачу о раскрое осесимметрично деформируемой оболочки вращения, полагая, что зоны сжатия отсутствуют. Решение уравнений равновесия (13.30) запишем в виде

где введены безразмерные величины

а - характерный линейный размер срединной поверхности,

Согласно соотношениям (13.31)

где

Из уравнений (14.36) получаем два следующих:

Определив отсюда инварианты находим из (14.36)

Далее из соотношений (13.2)

Согласно же равенствам (13.1) и (14.41)

Отсюда определяется а значит, и Из третьего соотношения (13.32) находим затем

Выражения являются параметрическим заданием недеформированной срединной поверхности. Используя выражение (14.416), можно перейти к параметру

При всем при этом должны выполняться условия отсутствия зон сжатия записываемые в силу выражений (14.34) в виде

Заметим, что форму деформированной оболочки нельзя задавать произвольно, так что описанная процедура, вообще говоря, может и не привести к цели. Другими словами, заданной форме деформированной оболочки может не отвечать никакая раскройная форма. Покажем это на простом примере. Пусть деформированная оболочка является сферой постоянной толщины, для которой (см. рис. 13.1)

так что при по формулам (14.35)

Пусть далее т. е. отсутствует сверхдавление [см. (13.29)]. Тогда по равенствам (14.37)

Согласно же соотношениям (14.40), (14.36)

Существенно, что определяемые отсюда кратности удлинений равные между собой постоянные величины. Таким образом, раскройной формой является сфера радиусом

Итак, сфера по необходимости получена из сферы. Пусть в рассматриваемой задаче

или, что то же в силу равенства (14.41а),

Выписанные условия отвечают жестким донышкам на краях оболочки. В силу условий (14.45) второе из условий (14.44) несовместно Отсюда и следует отсутствие решения поставленной задачи. Таким образом, ни при какой раскройной форме оболочка с жесткими донышками на краях не может превратиться в сферическую.