1.5. Полярное разбиение тензора
Выявим структуру тензора. Прежде всего по (1.17)
т. е. тензор 
симметричен. А тогда, как было показано в предыдущем параграфе,
где 
— вещественные главные значения; а — главные векторы тензора 
Отсюда и из (1.18)
Но (1.47)
Сопоставление двух последних выражений показывает, что все главные значения тензора 
неотрицательны.
Ограничимся рассмотрением невырожденных тензоров, для которых, как уже говорилось выше, 
По (1.11) и хорошо известным свойствам определителей
Но тогда из характеристического уравнения (1.15), записанного для тензора 
следует, что 
Выше была установлена неотрицательность Стало быть,
Пусть 
симметричный тензор, для которого
Для него
и сопоставление с (1.47) дает
Таким образом, 
симметричный тензор с положительными главными значениями. Такие тензоры называют иногда положительно-определенными 
Имеется следующее предложение: произвольный невырожденный тензор с вещественными компонентами представим в виде так называемого полярного разложения:
где 
положительно-определенный, 
ортогональный тензор.
Действительно, при 
определенном выражением (1.49), равенству (1.50), очевидно, удовлетворяет тензор 
Остается убедиться, что при этом последний ортогонален. Из (1.49) и (1.36)
Но (1.17)
и предложение доказано. Из доказательства усматривается и единственность полярного разложения.
