11.4. Уравнения движения
Рассмотрим условия равновесия элемента деформированной срединной поверхности, ограниченного координатными линиями 
Для этого подсчитаем главный вектор и главный момент приложенных к нему усилий, моментов и внешних сил. Напомним, что введенные выше усилия и моменты отнесены к единице длины недеформированного контура. При этом согласно (10.47), (10.48), (10.26) на линии 
Рис. 11.3
Поэтому согласно (10.48) и (10.49) на пару сторон элемента 
действуют силы (рис. 11.3)
Добавим сюда аналогичные слагаемые для другой пары сторон и поверхностную силу 
где 
интенсивность поверхностной нагрузки в расчете на единицу площади деформированной срединной поверхности. В результате имеем, приравнивая нулю полученный главный вектор,
Составляя выражение для главного момента, получаем прежде всего аналогичные слагаемые
К ним необходимо добавить момент, создаваемый парами сил (см. рис. 11.3):
Приравнивая нулю сумму полученных слагаемых, приходим к условию равенства нулю главного момента:
В это уравнение следовало бы включить и поверхностный момент 
Обычно он мал, и мы его опускаем. После сокращения в соотношениях (11.53), 11.54) множителя 
получаем векторные уравнения движения (равновесия)
С помощью соотношений (11.31), (10.27), (10.30) получаем отсюда систему пяти уравнений движения (равновесия):
Отметим, что при выводе двух последних уравнений было использовано полученное с учетом (10.26), (10.32) равенство
Шестое уравнение приводится к виду
В силу выражений (11.34)-(11.36) оно выполняется тождественно.
С учетом соотношений (10.36) уравнения движения (11.56) можно записать и так:
Используя соотношения (10.30), (10.24), (10.36), получаем
Отсюда и из последних уравнений (11.57) находим
Подставляя полученные выражения в первое из уравнений (11.55), приходим к двум равносильным формам записи векторного уравнения движения (равновесия) с исключенными перерезывающими усилиями:
Практически наиболее важным видом поверхностной нагрузки является нормальное давление
Перейдем к силам инерции. С учетом равенства (2.39) в элементе объема деформированного тела им отвечает главный вектор 
В расчете на единицу площади деформированной срединной поверхности 
Для тонкой оболочки, как и выше, подчеркнутый член можно заменить на 1. Пренебрегая также изменяемостью по толщине 
получаем с учетом (11.1) и (11.9) упрощенное выражение для сил инерции
К уравнениям движения добавим силовые (статические) граничные условия
следующие из соотношений (11.41), (11.44), (11.58). Здесь 
кирхгофовские краевые усилия и изгибающий момент — заданные функции дуги недеформированного контура.
Умножая первые три уравнения соответственно на 
и суммируя их, получаем с учетом соотношений (10.50), (10.57) и (11.46)
