3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАСС В АБСОЛЮТНО ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

Предварительные замечания. Абсолютно твердым телом называют материальное тело, в котором расстояние между двумя любыми точками всегда остается неизменным. Тело, не удовлетворяющее этому условию, называют деформируемым телом. В дальнейшем для краткости абсолютно твердое тело будем называть просто твердым телом.

Твердое тело является континуумом материальных точек. Поэтому использование теорем классической механики в применении к твердому телу требует предельного перехода, в частности, замены суммирования по материальным точкам системы интегрированием по объему, занятому телом. Распределение массы в теле характеризуется функцией равной плотности тела в точке с радиус-вектором

Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Его движение описывается шестью уравнениями динамики, в качестве которых можно йзять, например, векторное уравнение (9), выражающее теорему об изменении количества движения, и векторное уравнение (10), выражающее теорему об изменении главного момента количества движения твердого тела. Поскольку уравнение (9) определяет закон движения центра масс тела, то в качестве второго векторного уравнения целесообразно взять уравнение (22), описывающее изменение главного момента количества движения относительно центра масс. В связи с этим в динамике твердого тела особое значение приобретают центр масс и распределение массы тела относительно этого центра.

Центр масс твердого тела. Центр масс системы материальных точек вводится согласно формуле (21), которая для твердого тела принимает вид

где интегрирование распространено по всему объему V, занятому телом. Запишем эту формулу в составляющих

Величины, стоящие в числителях, называют статическими моментами массы.

Во многих случаях тело может быть разбито на части, массы и положения центров масс которых известны или легко определяются. Пусть Массу объема обозначим через радиус-вектор центра масс этого объема обозначим через Для центра масс тела

Данные о положении центра масс некоторых однородных тел простейшей геометрической формы можно найтн в табл. 1. Отыскание центра масс упрощается, если тело обладает симметрией (как в геометрическом смысле, так и в смысле распределения массы в теле). Если тело имеет плоскость симметрии, то центр масс лежит в этой плоскости; если оно имеет ось симметрии, то центр масс лежит на этой оси. Если тело имеет центр симметрии, то центр масс совпадает с этим центром. Поле плотности должно удовлетворять при этом соответствующим условиям симметрии.

Рис. 6 Распределение маге в твер дом теле

Моменты распределения масс в твердом теле. Введем систему координат начало которой совмещено с центром масс тела (рис. 6). Соответствующие оси координат называют центральными. Для удобства написания общих формул будем пользоваться также индексными обозначениями:

Распределение масс в теле может быть описано как скалярной функцией так и последовательностью интегралов

Здесь координаты точек тела, включая повторяющиеся. Эти интегралы называют моментами распределения масс. Моменты первого порядка — это введенные ранее статические моменты. Относительно центральных осей эти моменты тождественно равны нулю.

Для выбранных координатных осей главная информация о распределении масс в теле содержится в моментах второго порядка

Моменты второго порядка составляют симметричную квадратную матрицу

Совокупность этих моментов характеризует некоторый тензор второго ранга по отношению к ортогональному преобразованию системы координат.

(см. скан)

(см. скан)

Продолжение табл. 1 (см. скан)

Моменты инерции твердого тела. Сумму диагональных элементов матрицы I

называют полярным моментом инерции твердого тела относительно начала координат (в данном случае — центра масс). Образуем из моментов второго порядка (50) новые величины

Здесь символ Кронеккера если если В развернутом виде формулы (52) с учетом (51) принимают вид

Эти величины называют моментами инерции тела относительно координатных осей при эгом моменты равные суммам произведений элементарных масс на квадраты расстояний от этих масс до осей соответственно, называют осевыми моментами инерции. Остальные моменты содержащие произведения неодинаковых координат, называют центробежными моментами инерции. Осевые моменты инерции положительные; центробежные моменты могут принимать положительные, нулевые и отрицательные значения.

Матрица моментов инерции

характеризует (в приближении вторых моментов) распределение масс в твердом теле. Она является симметричной и положительно определенной.

Технические обозначения для моментов инерции. Возвращаясь к обозначениям запишем моменты инерции в виде

Выражения для осевых моментов инерции отличаются от (53) только обозначениями; для центробежных моментов, кроме того, знаком. В матрице моментов инерции целесообразно сохранить знак, который содержится в формулах (53), т. е.

Отказ от этого знака нарушает тензорные свойства моментов инерции.

Тензорные свойства моментов инерции. Перейдем от «старой» системы координат к «новой» системе с помощью ортогонального преобразования. Это преобразование характеризуется косинусами углов между координатными осями

Формула перехода от моментов инерции в системе к моментам инерции в системе имеет вид

Формула (58) означает, что совокупность моментов инерции относительно координатных осей, имеющих общее начало, образует тензор второго ранга.

Формула преобразований (58) позволяет вычислять моменты инерции относительно осей, полученных из исходных птем вращения. Приведем формулы для частного случая, когда вращение осуществляется относительно одной из координатных осей, например, оси Матрица косинусов из выражения (57) имеет вид

где угол поворота на плоскости (рис. 7). Применяя формулы (58), получим

Рис. 7. Вращающаяся система координат

Остальные моменты инерции остаются без изменения. Некоторые знаки в системе (60) могут не совпадать со знаками, приводимыми в отдельных руководствах, что связано как с использованием технических обозначений (55), так и с выбором правила знаков для В данной книге всюду используется правая система координат, а знаки псевдоскаляров и псевдовекторов согласованы с выбранной системой координат.

Главные оси и главные моменты инерции. Оси координат, в которых матрица (54) или (56) приводится к диагональному виду

называют главными осями инерции. Иначе, главные оси инерции — это те, относительно которых центробежные моменты инерции обращаются в нуль.

Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции. Они обычно упорядочиваются по убыванию:

Главные моменты инерции обладают экстремальными свойствами: момент инерции является максимальным, а минимальным среди всех осевых моментов инерции относительно осей, проходящих через то же начало координат.

Определение главных осей и главных моментов инерции сводится к алгебраической задаче о приведении матрицы моментов инерции к диагональному виду. Так, главные моменты инерции равны корням характеристического уравнения

где единичная матрица. В развернутом виде уравнение (63) имеет вид

Если положение одной из главных осей известно (например, из соображений симметрии), то задача нахождения двух других главных осей упрощается. Пусть ось главная. Положение двух других главных осей будем характеризовать углом

(см. рис. 7). Угол наклона главных осей к оси технических обозначениях)

а главные моменты инерции

Пусть тело обладает геометрической симметрией и симметрией в распределении масс. Если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная к ней, будет главной осью; если тело имеет ось симметрии, порядок которой выше двух, то одна из главных осей совпадает с этой осью.

Моменты инерции тонких и тонкостенных тел. Рассмотрим тонкое тело (стержень) с массой на единицу длины Здесь длина дуги, отсчитываемая вдоль, вообще говоря, криволинейной оси стержня (рис. 8, а).

Рис. 8. К приближенному вычислению моментов инерции тонких и тонкостенных тел

С погрешностью порядка характерный размер поперечного сечения тела, I — его длина или характерный радиус кривизны оси) можно записать

где декартовы координаты точек оси тела относительно системы координат Аналогично вычисляются остальные моменты инерции.

Для плоского тонкого тела (пластины) с массой на единицу срединной плоскости и площадью срединной плоскости имеют место приближенные соотношения

Здесь декартовы координаты точек срединной плоскости относительно системы координаты на срединной плоскости (рис. 8, б).

Вычисление моментов инерции. Для тел простейшей формы моменты инерции опредетяются непосредственным интегрированием по формулам (55), (67) и (68). Данные об осевых и центробежных моментах инерции некоторых тел содержатся в табл. 1.

Если оси главные, то значения центробежных моментов инерции не выписываются. Вычисление моментов инерции составных тел производят с учетом следующих двух положений:

Рис. 9. К формулам преобразования моментов инерции при переходе к параллельным осям

1) моменты инерции аддитивны по области, занятой телом, т. е. моменты инерции тела равны сумме моментов инерции его частей относительно тех же осей;

2) при переходе от центральных осей к произвольным параллельным осям (рис. 9) моменты инерции преобразуются по формулам Штейнера

Здесь — расстояния между осями; масса тела. В формулах (69) использованы технические обозначения (55) для моментов инерции