6. МЕТОД РЕЛЕЯ И РОДСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ

Метод Релея. Для приближенного нахождения первой собственной частоты можно использовать формулу Релея (19) гл. IX или (20) гл. IX, если в качестве выбрать некоторую допустимую вектор-функцию (функцию, удовлетворяющую по крайней мере кинематическим граничным условиям) близкую к предполагаемой первой форме собственных колебаний:

Эта формула дает оценку сверху.

Для определения собственной частоты необходимо знать первые собственных форм колебаний. При применении формулы Релея требуется удовлетворить дополнительным условиям

Особенностью применения формулы (29) является необходимость задания векторной функции Если зависимость каждой компоненты от координат нетрудно подобрать исходя из физического представления о характере деформирования упругой системы и необходимости удовлетворения по крайней мере кинематическим граничным условиям, то соотношения между компонентами задать достаточно сложно. В этом случае может быть использован следующий прием. Вводят параметры характеризующие амплитудные отношения между компонентами вектора:

Отношение Релея (20) гл. IX будет зависеть от Использование экстремальных свойств собственных частот колебаний приводит к уравнениям

служащим для нахождения Для каждой совокупности решений (всего их ) из (20) гл. IX находят значение для частоты, соответствующей форме с преимущественным движением по одной из компонент

Методы Данкерли и Саутвелла. Если уравнение (3) гл. IX можно представить в виде

где симметричные, положительно определенные операторы, то уравнения

можно рассматривать как уравнения собственных колебаний парциальных по кинетической энергии систем. В этом случае получается формула Данкерли

Здесь собственная частота колебаний парциальной системы (34).

Если уравнение (3) гл. IX можно представить в виде

(т. е. исходная система состоит из парциальных по потенциальной энергии систем), то получается формула Саутвелла

Формулы Данкерли и Саутвелла дают для основной частоты оценки снизу.

Использование теорем сравнения. Если имеются две системы I и II с уравнениями и совпадающим классом допустимых функций и для любых допустимых функций то Аналогично, если есть две системы I и II с уравнениями и для любых допустимых функций выполняется неравенство то В первом случае система I более жесткая, чем система II, во втором случае система I более инерционная, чем система II.