2. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Понятие стационарного случайного процесса. Процесс называют стационарным, если все его вероятностные характеристики инвариантны относительно выбора начала отсчета времени. В частности, математическое ожидание и одномерная плотность вероятности этого процесса не зависят от времени, а двухмерная плотность вероятности и моментная функция второго порядка зависят от разности аргументов но не от каждого аргумента в отдельности. Если накладываются только ограничения на одномерные и двухмерные распределения, то процесс называют стационарным в широком смысле. Стационарные случайные процессы служат удобной моделью для реальных процессов, свойства которых достаточно медленно изменяются во времени.

Корреляционная функция стационарного случайного процесса. Корреляционная функция зависит лишь от разности так что Обычно применяют обозначения а индекс при опускают. Корреляционная функция стационарного случайного процесса удовлетворяет условиям

Эргодические случайные процессы. Стационарный случайный процесс называют эргодическим, если одна его реализация содержит всю информацию о вероятностных свойствах процесса. Эргодические процессы выявляют свои свойства не только на множестве реализаций, но и во времени. Важной их особенностью является возможность замены осреднения по множеству реализаций осреднением по времени. В частности,

Вопрос о принадлежности стационарного случайного процесса к эргодическим процессам обычно решается на основе физических соображений или предварительной обработки ансамбля реализаций.

Спектральное разложение стационарных случайных процессов. Стационарный процесс может быть представлен в виде обобщенного интеграла Фурье

где действительный параметр, спектр комплексно-значная функция, удовлетворяющая условию Разложение (19) является каноническим в том смысле, что спектр удовлетворяет соотношению типа (16):

где спектральная плотность процесса.

Интеграл Фурье (19) в обычном смысле не существует, поэтому соотношения (19) и (20) не имеют точного смысла. Общепринятая запись стохастического интеграла Фурье — Стильтьеса имеет вид

Спектральная плотность пропорциональна мощности случайного процесса, отнесенной к единице частотного диапазона. Для действительного стационарного процесса она является действительной неотрицательной четной функцией частоты Для процессов с ограниченной дисперсией интегрируемая на отрезке функция.

В табл. 1 приведены выражения для корреляционных функций и спектральных плотностей наиболее распространенных типов стационарных случайных процессов.

(см. скан)

(см. скан)