4. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Введение. Определение параметрических колебаний, данное в гл. VII применительно к системам с конечным числом степеней свободы, справедливо для систем с распределенными параметрами. Параметрические колебания распределенных систем описываются дифференциальными и интегро-дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами. Наиболее важный случай — системы с параметрами, периодически меняющимися во времени. Далее будут рассмотрены системы, описываемые уравнениями в частных производных с коэффициентами — периодическими функциями времени.
Задачи динамической устойчивости упругих систем. Большая часть задач параметрических колебаний упругих систем связана с теорией упругой устойчивости. Примером служат колебания упругого прямолинейного стержня, нагруженного периодической во времени продольной силой (рис. 6, а).
Рис. 5. Области флаттера и дивергенции при
и различных значениях
Рис. 6. Примеры упругих систем, нагруженных параметрическими силами
При такой нагрузке имеют место продольные колебания. Однако при определенных соотношениях между частотой внешней силы и собственными частотами стержня прямолинейная форма последнего может оказаться динамически
неустойчивой: малые поперечные возмущения влекут за собой возбуждение интенсивных поперечных колебаний.
На рис. 6 приведены и другие примеры упругих систем, нагруженных параметрическими силами: круговое кольцо, нагруженное равномерно распределенной радиальной периодической во времени нагрузкой (рис. 6, б), изгибно-крутильные колебания упругой балки, нагруженной периодическими силами в одной из главных плоскостей инерции (рис. 6, в), изгибные колебания пластин и оболочек, нагруженных периодическими силами, действующими в срединной поверхности, и т. п. (рис. 6, г, д).
Перечисленные примеры относятся к широкому классу задач теории динамической устойчивости упругих систем. Во всех этих задачах причиной параметрического возбуждения колебаний служит периодическое изменение во времени нагрузок, которые, будучи приложены статически, могут вызвать потерю устойчивости путем разветвления форм равновесия. Параметрические колебания этих систем можно интерпретировать и как результат изменения во времени их эффективной жесткости под влиянием приложенных периодических сил.
Рис. 7. Примеры распределенных систем с переменными параметрами
Эти силы обычно называют параметрическими (по отношению к возбуждаемым ими параметрическим колебаниям).
Другие примеры параметрических колебаний распределенных систем. Примеры систем, в которых изменение параметров можно увидеть непосредственно из расчетной схемы, показаны на рис. 7, а и б. В первом случае изгибные колебания стержня возбуждаются за счет периодического изменения во времени коэффициента упругости опоры, во втором случае — за счет периодического изменения длины стержня. В обоих случаях изменение параметров системы в процессе изгибных колебаний требует поступления энергии от внешнего источника.
Примером параметрически возбуждаемой гидродинамической системы служит тяжелая жидкость, находящаяся в сосуде, который совершает периодическое движение в направлении силы тяжести (рис. 7, в). При некоторых соотношениях между частотой движения сосуда и собственными частотами колебаний жидкости относительное равновесие жидкости становится неустойчивым и возникают ее интенсивные колебания. Если стенки сосуда к тому же деформируются упруго, то возникает задача о параметрических колебаниях гидроупругой системы.
Примером параметрически возбуждаемой электрической системы может служить пассивная линейная цепь с распределенными емкостью, индуктивностью и омическим сопротивлением, один из параметров которой (например, сосредоточенная емкость) периодически изменяется во времени.