7. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Общая схема метода. Предположим, что поведение системы описывается раторным уравнением (2). Требуется найти вероятностные характеристики вектора состояний системы при условии, что вероятностные характеристики внешнего воздействия известны. Ограничимся рассмотрением установившихся стационарных колебаний системы.

Вычислительный алгоритм метода Монте-Карло для дайной задачи можно проиллюстрировать при помощи следующей схемы (рис. 1), которая содержит четыре основных блока: датчик случайных чисел (ДСЧ); блок моделирования внешнего воздействия (вход); блок численного решения уравнений, описывающих поведение системы (модель системы), блок анализа случайных процессов (АСП) для определения статистических оценок вероятностных характеристик вектора состояний системы.

Рис. 1. Схема реализации метода Монте-Карло

В случае, когда параметры системы — скалярные или векторные случайные величины с известными вероятностными характеристиками, схема должна быть дополнена блоком моделирования их реализаций (параметры системы).

Воспроизведение реализаций вектора состояний системы. Эта задача может быть решена различными методами. Если система задается оператором и матрица Грина для него известна, то воспроизведение реализаций может быть осуществлено при помощи численной реализации соотношений (10) для фиксированных реализаций и параметров системы. Если система задается оператором то воспроизведение реализаций производится путем интегрирования уравнения (3) методом Рунге — Кутта или другими численными методами.

При воспроизведении стационарных реализаций последовательностей и шаг дискретизации длительность начального интервала и интервала наблюдения выбирают из условий Здесь характерный период колебаний (например, период, соответствующий высшей парциальной частоте системы); интервал затухания переходных процессов; интервал корреляции выходных процессов. Начальные участки реализаций при определении статистических оценок вероятностных характеристик, соответствующих стационарному решению, не используют.

Статистический анализ выходных последовательностей. Вопросы определения статистических оценок вероятностных характеристик случайных последовательностей достаточно полно освещены, например, в [6, 51, 99]. Поэтому ограничимся

рассмотрением простейших оценок вероятностных характеристик последовательностей

Оценки для функции распределения и плотности вероятности. Используя значений реализации последовательности оценки для одномерной функции распределения и одномерной плотности вероятности могут быть получены по формулам

где число элементов, меньших и. Рационально принимать Тогда (38) можно записать в виде

здесь

Средние квадратические погрешности оценок (37), (39) в случае статистически зависимой последовательности

где

Близость эмпирического распределения к теоретическому оценивают при помощи статистических критериев согласия [51, 99].

Оценки математического ожидания, корреляционной и взаимной корреляционной последовательностей. Несмещенной оценкой математического ожидания после довательности является статистическое среднее

Дисперсия этой оценки равна

Оценки корреляционной и взаимной корреляционной последовательностей (соответствующих аналогов корреляционных функций) двух стационарных и стационарно связанных последовательностей находят по формулам

здесь

Математические ожидания оценок (44), (45)

где

Для гауссовских последовательностей дисперсии оценок (46)

Из формул (46), (47) следует, что оценки (44), (45) являются асимптотически несмещенными и состоятельными.

Оценки спектральных плотностей стационарных случайных последовательностей. Оценки спектральных и взаимных спектральных плотностей стационарных случайных последовательностей получают обработкой периодограмм — функций безразмерной частоты

где

Математическое ожидание и дисперсия оценки (48) соответственно равны

Периодограмма является асимптотически несмещенной, но несостоятельной оценкой спектральной плотности. Периодограмма представляет собой сумму

математического ожидания и быстроколеблющейся около нуля функции. Поэтому состоятельную оценку спектральной плотности можно получить только путем отфильтровывания быстроменяющейся составляющей.

Оценки для взаимной спектральной плотности последовательностей могут быть получены при помощи периодограмм

Здесь

Применение стандартных программ. При решении задач о случайных колебаниях методом статистического моделирования с использованием ЭВМ серии могут быть использованы подпрограммы и

Описание подпрограмм и приведено в гл. XVII. Эти подпрограммы могут быть использованы для воспроизведения реализаций внешних воздействий на систему

Для воспроизведения реализаций вектора состояний системы путем интегрирования уравнения (3) может быть применена подпрограмма [61]. При этом уравнение (3) предварительно должно быть преобразовано к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Вычисления статистических оценок вероятностных характеристик реализаций состояний системы могут быть проведены с использованием подпрограмм и

Подпрограмма вычисляет оценку (44). Обращение к подпрограмме осуществляется следующим образом Здесь А — входной вектор, содержащий последовательность запаздывание выходной вектор длины

Подпрограмма вычисляет оценку (45). Обращение к подпрограмме осуществляется следующим образом: Здесь входные векторы, содержащие последовательности соответственно; запаздывание; выходные векторы длины соответствует запаздыванию по — запаздыванию по