6. ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА К РАСЧЕТУ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ

Построение решений типа краевого эффекта. Пусть оболочка является пологой и занимает прямоугольную (в обобщенном смысле) область, ограниченную линиями Исходными являются уравнения (43). Порождающее решение, справедливое во внутренней области, будет следующим [10]:

где волновые числа; и фазовые постоянные. Частота со связана с волновыми числами соотношением (45).

Решение вблизи края имеет вид

Функции удовлетворяют уравнениям (47). Характеристическое уравнение имеет корни соответствующие порождающему решению. Остальные корни находят из уравнения

где безразмерные параметры

предполагаются конечными .

Замечание. Если исследуется краевой эффект вблизи неасимптотического края у оболочки нулевой гауссовой кривизны гауссовой кривизной понимают произведение главных кривизн то уравнение (50) непригодно, так как В этом случае вместо (51) вводят обозначения

и уравнение (50) примет вид

Динамический краевой эффект будет невырожденным, если уравнение (50) относительно имеет только действительные положительные или комплексные корни (не имеет отрицательных действительных или нулевых корней). Достаточное условие невырождения динамического краевого эффекта можно записать в виде

Рис. 5. Области вырождения динамического краевого эффекта в оболочках

Если 1, то это условие выполняется при всех Следовательно, у края при динамический краевой эффект всегда существует. В оболочках нулевой гауссовой кривизны динамический краевой эффект всегда невырожден вблизи неасимптотического (кругового) края. При краевой эффект вырождается при малых волновых числах Границы областей вырождения определяются неравенством (54). На рис. 5 густой штриховкой показаны обла вырождения динамического краевого эффекта в зависимости от изменения параметра х [87].

Типы динамических краевых эффектов. Если динамический краевой эффект не вырождается, то возможны следующие случаи:

все корни уравнения (50) действительные положительные; тогда решение вблизи края имеет вид

один корень действительный положительный и два комплексных, тогда решение будет иметь вид

где

Замечание. Два кратных действительных положительных корня появляются только для сферической оболочки В этом случае кратный корень и решение у края может быть записано в виде

где

Первый случай и случай, приведенный в замечании, соответствуют неосциллирующему краевому эффекту, а второй случай соответствует осциллирующему динамическому краевому эффекту. Второй случай реализуется при выполнении условия где

Здесь введены полярные координаты

Замечание. Если и краевой эффект не вырождается, то условие, при котором он будет осциллирующим, можно записать в виде

Пример применения асимптотического метода. Дальнейшая процедура применения асимптотического метода [после построения решений типа (55), (56), (57)] будет такой же, как описано выше, т. е. составляют уравнения стыковки типа (27) гл. XII, из которых находят волновые числа и (или и Частоты определяют затем по формуле (45). В качестве примера приведем уравнения стыковки для сферической панели. Частота в этом случае связана с волновыми числами соотношением

Решение вблизи края определяют согласно (57). Пусть на краю оболочки выполняются условия (скользящая в тангенциальном направлении заделка)

Удовлетворение условиям (61) приводит к выражению для тангенса фазовой постоянной

где

Если на всех краях оболочки выполняются условия, аналогичные (61), то уравнения стыковки можно записать следующим образом:

Здесь целые положительные числа; находя по формулам (63), если в них произвести круговую замену индексов. Система (64) может быть решена методом последовательных приближений. Более подробные сведения о применении асимпточеского метода можно найти в работах [10, 87].