Глава IV. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ ДЛЯ СИСТЕМ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
1. ОБЗОР ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
Предварительные замечания. В вибрационных расчетах наиболее распространенными являются следующие задачи о собственных колебаниях, в которых необходимо вычислить: все собственные частоты и соответствующие им формы; только собственные частоты; наименьшую (наибольшую) собственную частоту или несколько низших (высших) собственных частот и соответствующие им формы; несколько собственных частот, ближайших к заданному числу, и соответствующие им формы.
Отыскание собственных форм 
и соответствующих им частот 
эквивалентно решению обобщенной алгебраической проблемы о собственных значениях
Для систем с несколькими степенями свободы решение задачи (1) не представляет серьезных затруднений. Если число степеней свободы и велико, то необходимо применять специальные численные методы линейной алгебры [22, 106, 108].
Если используется симметричная матрица единичных податливостей 
то вместо (1) имеем
где матрица 
вообще говоря, несимметричная. Аналогично, вводя матрицу 
которая тоже является несимметричной, получим
Задача о собственных значениях симметричной матрицы. Задачи в форме уравнений (2) и (3) можно привести к аналогичным задачам с симметричной матрицей [22]. Рассмотрим задачу в форме (2).
Первый прием заключается в предварительном представлении матрицы инерционных коэффициентов А в виде произведения двух треугольных матриц
Элементы матрицы 
вычисляются по следующим формулам (метод квадратного корня): 
Полагая 
получим
где 
симметричная матрица. В случае диагональной матрицы
Второй прием состоит в предварительном приведении матрицы А посредством ортогонального преобразования подобия к диагональному виду 
Отыскание 
эквивалентно отысканию собственных векторов и собственных значений матрицы А. После подстановки 
задача (2) сводится к уравнению
с симметричной матрицей 
Итак, для отыскания собственных частот и собственных форм систем с конечным числом степеней свободы применимы численные методы решения алгебраической проблемы собственных значений 
или 
где 
или симметричные матрицы, или каждая из них есть произведение двух симметричных матриц.
Другие типы задач. Задачи колебаний и устойчивости неконсервативных линейных систем (см. гл. V) приводят к квадратичной проблеме о собственных значениях
с вещественными матрицами. При этом матрица С, вообще говоря, несимметричная.
Задачу в форме (6) легко привести к задаче 
с несимметричной матрицей
порядка 
и вектором х размерности 
Характеристические показатели 
в этих задачах комплексные.
Краткая характеристика численных методов решения стандартной алгебраической проблемы. Отыскание собственных значений эквивалентно отысканию корней алгебраического полинома. Все методы решения алгебраической проблемы являются в сущности итерационными. Численные методы решения алгебраической проблемы получили свое дальнейшее развитие в связи с широким применением ЭВМ. При выборе метода следует руководствоваться общими требованиями к устойчивости счета, точности результатов, простоте реализации алгоритма на ЭВМ и экономичности по затратам машинного времени. Основные методы решения алгебраической проблемы, машинно-ориентированные версии методов и особенности реализации можно найти в [22, 106, 107, 108].
Краткие характеристики некоторых из наиболее распространенных методов приведены в табл. 1. Мотивировки алгоритмов и дополнительные сведения для случая вещественных матриц приведены ниже.
Отдельную группу образуют методы, основанные на предварительном вычислении коэффициентов характеристического полинома и числениых методах решения алгебраического уравнения. Вычисление коэффициентов полинома осуществляется за конечное число шагов. В этом смысле их можно было бы назвать прямыми методами. В случае вещественных собственных значений коэффициенты полинома сильно
чувствительны к малым изменениям элементов матрицы и промежуточным ошибкам округления. По этой причине эти методы следует применять с осторожностью. Применительно к задачам устойчивости линейных систем (см. гл. V) некоторые из этих методов описаны в п. 4 на с. 85. По возможности описание методов иллюстрируется ссылками на ФОРТРАН - подпрограммы транслятора для ЕС ЭВМ [60—65].
1. Основные методы решения алгебраических проблемы
(см. скан)
