ГЛАВА XXI. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВИБРАЦИОННОЙ НАДЕЖНОСТИ

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Случайные колебания и теория надежности. Многие приложения теории случайных колебаний требуют применения понятий и методов теории надежности, особенно того ее направления, в котором отказ рассматривается как результат изменения во времени параметров системы (общая, физическая или параметрическая теория надежности). Оценка надежности систем, испытывающих вибрации, в значительной степени основана на анализе случайных выбросов колебательных процессов и связанных с ними процессов накопления повреждений.

Отказ как случайное событие. Полную или частичную утрату системой способности выполнять возложенные на нее функции называют отказом. Последний может быть как результатом развития дефектов, содержащихся в системе к началу эксплуатации, так и результатом накопления повреждений и необратимых изменений в процессе эксплуатации. Начальное распределение дефектов, условия эксплуатации и взаимодействия системы с окружающей средой носят случайный характер. Поэтому отказы следует рассматривать как случайные события.

В теории надежности принято различать внезапные и постепенные отказы. Понятие внезапного отказа используют, если описание процессов, ведущих к отказу, затруднительно или нецелесообразно. Тогда для анализа надежности применяют эмпирико-статистический подход. Поведение механических систем может быть описано и исследовано с высокой степенью подробности и точности. Это позволяет отказаться от понятия внезапного отказа и трактовать все отказы как результат взаимодействия системы с окружающей средой [12].

Пространства теории надежности. Рассмотрим поведение некоторой системы при внешних воздействиях. Запишем уравнение системы в виде

где элемент из пространства входных параметров и — элемент из пространства выходных параметров оператор системы. Пространство выбирают таким образом, чтобы при помощи его элементов и можно было полностью охарактеризовать любое состояние системы; его называют пространством состояний. Эволюция состояния во времени описывается функциями и их геометрическим образом служат траектории в пространстве состояний

Введем пространство для описания качества системы. Пусть каждому качеству системы соответствует элемент при этом время играет роль параметра.

Рис. 1. Пространства теории надежности

Каждой траектории в пространстве соответствует некоторая траектория в пространстве качества Элементы этих пространств и траектории в них связаны операторным соотношением

Оператор может быть, в частности, тождественным оператором. В некоторых случаях пространство V оказывается подпространством от

Множество состояний системы, допустимых с точки зрения качества, образует в пространстве качества V область допустимых состояний Граница области соответствует предельным состояниям. Эту границу будем называть предельной поверхностью и обозначать через Если то это означает, что параметры качества системы сохраняются в установленных допусках. Первое пересечение траекторией предельной поверхности в направлении внешней нормали соответствует отказу системы.

Еще одним пространством теории надежности является диагностическое (пространство признаков) В результате наблюдений и измерений фиксируют значения некоторых параметров, косвенно характеризующих качество системы. Вектор признаков связан с вектором качества операторным соотношением

где оператор, отражающий неполноту информации, наличие шумов в системе измерения и т. п.

Введенные понятия приобретают особую наглядность, если система является конечномерной. Тогда пространства евклидовы пространства. На рис. 1 схематически показаны траектории для случая, когда

являются трехмерными евклидовыми пространствами. Здесь образы допустимой области и предельной поверхности в пространстве

Функция надежности. Эта функция служит основной характеристикой надежности, определяющей способность системы к безотказной работе на заданном отрезке времени. Пусть внешнее воздействие и (или) оператор системы являются стохастическими. Тогда траектории в пространстве качества V будут также стохастическими, а отказ — случайным событием. Функция надежности определяется [12] как вероятность пребывания элемента в допустимой области на отрезке времени

Определение функции надежности в форме (4) легко обобщается на случай, когда допускаются повторные отказы, предусматриваются ремонт, восстановление и т. п. Роль параметра может играть не только физическое время, но и наработка, число циклов или другие подходящие для данного типа систем параметры. Область допустимых состояний может быть стохастической, например, может случайно меняться при переходе от одного элемента ансамбля систем к другому. Если стохастические свойства системы и внешнего воздействия характеризуются конечным числом случайных параметров, то задачу определения функции надежности целесообразно решать в два этапа. На первом этапе рассматривают систему с фиксированными параметрами, для которой строится функция надежности. Эта функция представляет собой вероятность пребывания системы в допустимой области при условии, что параметры системы и воздействия фиксированы:

По аналогии с условной вероятностью будем называть функцию условной функцией надежности. На втором этапе при помощи формулы полной вероятности вычисляется функция надежности для выбранных наугад системы, принадлежащей данному ансамблю, и воздействия:

Здесь совместная плотность вероятности для параметров

К характеристикам надежности относятся также вероятное отказа системы на отрезке вычисляемая как плотность распределения (частота) отказов интенсивность отказов — плотность вероятности отказов на множестве систем, не отказавших до момента времени Функция надежности и интенсивность отказов связаны формулой

Характеристики долговечности. Время до первого отказа (срок службы) является случайной величиной с функцией распределения

Средний срок службы

Таким образом, характеристики долговечности содержатся в функции надежности Учет ремонта, восстановления, промежуточного контроля и т. п. требует введения специальных показателей долговечности [29, 85].

Нормативная надежность. Условие надежности системы имеет вид

где — нормативная надежность (вообще говоря, функция времени); нормативный срок службы. Обычно условие (7) ставится при Обозначая перепишем (7) в виде

Для массовых систем функция надежности допускает статистическое истолкование. Ее нормативные значения устанавливают путем статистического анализа опыта эксплуатации. Другой путь получения нормативных значений основан на вероятностно-оптимизационном подходе, при котором нормативные значения определяют из условия минимума математического ожидания некоторой функции потерь, связанных с отказом. Если система не является массовой, то статистическое истолкование утрачивает смысл. Но характеристики надежности все же остаются при этом важными показателями качества системы и могут быть использованы для сопоставления вариантов технических решений или для оптимизации параметров. Так, из некоторого набора технических решений виброзащитной системы наилучшим (при прочих равных или сопоставимых условиях) будет то, которое обеспечивает максимальную надежность.