Глава III. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ

1. УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Постановка задачи о малых свободных колебаниях. Рассмотрим механическую систему с голономными стационарными идеальными связями. Все силы, действующие на систему, являются консервативными, причем энергия всех этих сил входит в потенциальную энергию системы При система находится в положении устойчивого равновесия. При этом первая и вторая вариации потенциальной энергии системы удовлетворяют условиям

т. е. потенциальная энергия системы в положении равновесия обладает изолированным минимумом. Без ограничения общности можно принять, что в положении

равновесия Это всегда может быть достигнуто соответствующим выбором обобщенных координат.

Пусть при системе дается отклонение от положения устойчивого равновесия и (или) ее точкам сообщаются начальные скорости. Совокупность этих воздействий будем называть начальными возмущениями, которые сообщают системе некоторое количество механической энергии, дополнительное к потенциальной энергии в положении равновесия. Колебания, происходящие в системе при представляют собой свободные колебания, определение которых дано в гл. 1.

Ограничимся рассмотрением таких свободных колебаний, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями. Для того чтобы уравнения движения были линейными, необходимо, чтобы отклонения системы от положения равновесия были достаточно малы (что обеспечивается малостью начальных возмущений). Кроме того, система должна быть такова, чтобы уравнения движения допускали линеаризацию в окрестности положения равновесия. Последнее условие накладывает ограничения на структуру системы, тип связей и свойства действующих сил.

Уравнения Лагранжа для консервативных систем имеют вид

где кинетическая, потенциальная энергия системы. Для того чтобы уравнения (2) были однородно линейны относительно обобщенных координат и обобщенных скоростей, необходимо, чтобы кинетическая и потенциальная энергии системы были однородными функциями второй степени (квадратичными формами) соответственно обобщенных скоростей и координат. Это условие будет выполнено, если кинетическая и потенциальная энергии допускают разложения в сходящиеся степенные ряды по соответствующим переменным, причем эти ряды начинаются с членов второго порядка.

Кинетическая энергия системы. Инерционные коэффициенты. При малых колебаниях относительно положения равновесия кинетическая энергия

Здесь постоянные, называемые инерционными коэффициентами. Они удовлетворяют условию симметрии и образуют симметричную квадратную матрицу размерностью

Эта матрица называется матрицей инерционных коэффициентов или просто инерционной матрицей.

При помощи матрицы А можно представить квадратичную форму кинетической энергии (3) в более компактном виде. Введем обычную операцию умножения матрицы на вектор (матрицу-столбец) и скалярное произведение двух векторов х и у в -мерном пространстве:

С учетом этих обозначений формулу (3) можно переписать так:

Здесь матрица-столбец обобщенных скоростей, т. е.

Если ввести соответствующую матрицу-строку (транспонированную матрицу)

то квадратичная форма кинетической энергии может быть представлена в виде произведения трех матриц:

Поскольку если хотя бы одна из обобщенных скоростей отлична от нуля, то квадратичная форма (3) и соответствующая ей инерционная матрица А будут положительно определенными. Исключение составляют некоторые вырожденные случаи, например, системы с полуцелым числом степеней свободы, для которых квадратичная форма кинетической энергии может оказаться неотрицательной. Из положительной определенности квадратичной формы (3) вытекает положительность определителя инерционной матрицы А и ее главных миноров, а также существование обратной матрицы

Потенциальная энергия системы. Квазиупругие коэффициенты. Пусть потенциальная энергия системы допускает разложение в степенной ряд в окрестности положения равновесия. Так как потенциальная энергия определяется с точностью до аддитивной постоянной, то значение этой энергии в положении равновесия можно принять равным нулю. Линейные члены разложения обращаются в нуль вследствие первого условия (1). Таким образом, разложение потенциальной энергии в степенной ряд начинается с квадратичных членов. Отбрасывая члены более высокого порядка, получим

Здесь постоянные коэффициенты, равные значениям вторых производных от потенциальной энергии по обобщенным координатам при Эти коэффициенты называют квазиупругими, а образованную из них матрицу

называют матрицей квазиупругих коэффициентов или просто квазиупругой матрицей. Квазиупругая матрица является симметричной и положительно определенной. Последнее свойство следует из положительности второй вариации от потенциальной энергии системы в окрестности устойчивого положения равновесия, т. е. из второго условия (1). Отсюда, в свою очередь, вытекает положительность определителя матрицы С и всех ее главных миноров, а также существование обратной матрицы

Если по формуле (31) гл. 11 ввести обобщенные силы, соответствующие потенциальной энергии в виде (10), то эти силы окажутся линейными функциями обобщенных координат:

Положительная определенность квадратичной формы (10) в данном случае означает что при любом малом отклонении от положения равновесия действующие силы будут стремиться вернуть систему к этому положению. Силы такого типа называют восстанавливающими. Важный пример восстанавливающих сил — линейно упругие силы. Термин квазиупругие коэффициенты связан с понятием о линейно упругих силах и соответствующих упругих коэффициентах.

Квадратичная форма потенциальной энергии может быть записана в более ком пактном виде, если использовать обозначения (7) и (11);

Здесь матрица-столбец обобщенных координат. Вводя соответствующую матрицу-строку можно записать

Уравнения свободных колебаний. Подставляя (3) и (10) в уравнение (2), получаем уравнения свободных колебаний линейных консервативных систем

или, в матричных обозначениях (4), (7) и (11),

Если исходная система нелинейна то уравнения (15) описывают малые колебания системы относительно положения равновесия. Для получения этих уравнений следует либо непосредственно использовать малость отклонений от положения равновесия при составлении уравнений (если последние выводятся из законов динамики), либо линеаризировать соответствующие нелинейные уравнения, либо аппроксимировать кинетическую и потенциальную энергию системы при помощи квадратичных форм, коэффициенты котсрых совпадают с коэффициентами уравнений малых колебаний (15).

Пример. Рассмотрим колебания двойного маятника (см. рис. 5, гл. II). Точные выражения для кинетической и потенциальной энергии даются формулами (39) и (40). Так как

аппроксимируем эти точные выражения квадратичными формами

Отсюда получаем уравнения свободных колебаний в форме (15) или (16) о матрицами инер ционных и квазиупругих коэффициентов:

Матрица единичных перемещений (единичных податливостей). Пусть линейная система поочередно загружается квазистатическими силами вызывающими обобщенные перемещения Обозначим через величину обобщенного перемещения от действия квазистатической обобщенной силы Матрицу

называют матрицей единичных перемещений (единичных податливостей). Перемещения от произвольного квазистатического загружения

Матрица единичных перемещений симметрична а соответствующая ей квадратичная форма — положительно определенная. Из сопоставления (12) и (18) следует, что матрицы единичных перемещений и квазиупругих коэффициентов являются взаимно обратными, т. е.

Составление уравнений свободных колебаний с использованием матрицы единичных перемещений. Вводя обобщенные даламберовы силы инерции и используя соотношения (18), получим уравнения свободных колебаний линейной системы

или в матричной записи

Уравнение (20) непосредственно следует из уравнения (16), если последнее умножить слева на матрицу Вместе с тем оно имеет самостоятельное значение в практике вибрационных расчетов, особенно там, где упругие свойства системы рассчитывают методами строительной механики.

Рис. 1. Плоские изгибные колебания балки с двумя сосредоточенными массами

Пример. Балка с постоянной по длине изгибной жесткостью (рис. 1) несет две сосредоточенные массы В случае плоских изгибных колебаний число степеней свободы равно двум. Единичные перемещения определяют путем «перемножения» соответствующих единичных эпюр (рис. 1):

Матричные коэффициенты уравнения (20) прини