4. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ

Поперечные колебания струны. Под струной понимают тонкое упругое одномерное тело с пренебрежимо малой жесткостью на изгиб. Колебания струны длины растянутой усилием и закрепленной по концам, происходящие в плоскости описываются уравнением

Здесь отклонение струны в направлении плотность материала струны; площадь поперечного сечения; интенсивность нагрузки, действующей в плоскости На концах струны

При должны выполняться начальные условия

Замечание. В силу линейности задачи и одномерности упругого объекта произвольные малые пространственные колебания могут быть представлены как суперпозиция колебании в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Техническая теория продольных колебаний стержней. Под стержнем понимают одномерное упругое тело (два размера малы по сравнению с третьим), обладающее конечной жесткостью на растяжение, кручение и изгиб. Пусть стержень, отнесенный к прямоугольной декартовой системе координат совершает продольные колебания. Параметры стержня являются функциями только одной продольной координаты По гипотезе плоских сечений любые точки, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси стержня, имеют одинаковые перемещения Все компоненты тензоров напряжений и деформаций, кроме считают пренебрежимо малыми. Выражения для потенциальной энергии деформации, кинетической энергии и потенциала внешних сил имеют вид

Продольные колебания описывают уравнением

Возможные типы краевых условий сведены в табл. 3. Решение уравнения (68), удовлетворяющее на каждом конце одному из условий, приведенных в этой таблице, должно также удовлетворять начальным условиям, аналогичным (66).

Уточненная теория продольных колебаний стержней. Эта теория учитывает влияние поперечных деформаций Поправка вводится только в выражение для кинетической энергии

где полярный момент инерции сечения

Уравнение продольных колебаний принимает вид

Краевые и начальные условия остаются без изменения.

3. Основные типы краевых условий для продольных колебаний стержней

(см. скан)

Техническая теория крутильных колебаний стержней. Для стержня с прямолинейной осью, центр тяжести поперечного сечения которого совпадает с центром изгиба (выполнение этого условия гарантирует существование чисто крутильных колебаний), используют гипотезы статической задачи о чистом кручении призматических стержней, основной из которых является гипотеза плоских сечений.

Существенными считаются только напряжения Введенные гипотезы позволяют описать процесс деформирования при помощи одной переменной угла закручивания. Потенциальную энергию деформации, кинетическую энергию и потенциал внешних сил определяют по формулам

(см. скан)

Продолжение табл. 4 (см. скан)

В эти формулы кроме полярного момента инерции входит момент инерции при кручении

где функция кручения. Для некоторых видов сечений моменты инерции приведены в табл. 4. Уравнение крутильных колебаний имеет вид

Характерные типы краевых условий представлены в табл. 5. Начальные условия аналогичны (66).

Уточненная теория крутильных колебаний стержней. Эта теория учитывает депланационные эффекты при кручении (учет Использование выражений для энергий

3. Основные типы краевых условий для продольных колебаний стержней

(см. скан)

в которые введен депланационный момент инерции — приводит к уточненным уравнениям крутильных колебаний стержней

На каждом конце стержня должно быть поставлено по два условия

Техническая теория крутильных колебаний тонкостенных стержней открыюго профиля. Предположим, что выполнено условие существования чисто крутильных колебаний стержня с тонкостенным поперечным сечением, т. е. центры кручения всех сечений совпадают с центрами тяжести и лежат на прямолинейной оси. Выражение для кинетической энергии совпадает с (71). Потенциальная энергия

где векториальный момент инерции секториальная площадь).

Уравнение крутильных колебании тонкостенных стержней открытого профиля имеет вид

Начальные условия аналогичны (66), а альтернативные краевые условия можно записать в форме

Во втором условии левая часть представляет собой сумму момента касательных усилий чистого кручения и момента от касательных сил сдвига срединной поверхности.

Уточненная теория крутильных колебаний тонкостенных стержней открытого профиля. Если при кручении тонкостенного стержня открытого профиля учитывать наряду с чистым кручением и депланационными эффектами также напряжения сдвига срединной поверхности, то потенциальная энергия деформации

где

При этом кинетическая энергия

Уравнение крутильных колебаний тонкостенных стержней открытого профиля по уточненной теории имеет вид