2. КРУГОВЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ В ПЛАНЕ ПЛАСТИНЫ
Общий случай (пластины постоянной толщины). Подстановка
в уравнение (114) гл.
дает уравнение (1) с заменой оператора Лапласа на его выражение в полярных координатах:
Краевые условия для края
приведены в табл. 2.
2. Краевые условия для круговых пластин
(см. скан)
Для замкнутых в окружном направлении пластин
где
число узловых диаметров. Функция
удовлетворяет уравнению
где
и краевым условиям, получающимся из условий, приведенных в табл. 2 после подстановки (14) и сокращения на
Общее решение уравнения (15) может быть найдено по методу факторизации (см. гл. X) и записано в форме
где использованы стандартные обозначения для цилиндрических функций.
Круговые в плане пластины. Для круговых пластин из условия ограниченности решения в центре
постоянные
Для определения оставшихся констант используют краевые условия (см. табл. 2). Уравнение частот получают из условия существования ненулевого решения для
(равенство нулю определителя соответствующей системы). Для некоторых случаев закрепления уравнения частот приведены в табл. 3.
3. Уравнения частот для круговых пластин
(см. скан)
4. Значения коэффициентов и для круговых пластин
(см. скан)
Частота
Значения коэффициентов
приведены в табл. 4.
При больших
для заделанной по контуру пластины
а для свободной пластины
Кольцевые в плане пластины. В этом случае все константы в (17) отличны от нуля. Частотные уравнения имеют достаточно громоздкий вид. Например, для пластины, заделанной по внутреннему контуру радиуса и внешнему контуру радиуса
это уравнение имеет вид
Рис. 1. Зависимость частотного параметра для кольцевой заделанной пластины от
Зависимости
для данного случая показаны на рис. 1. Аналогичные уравнения и зависимости для различных сочетаний краевых условий на внутреннем и внешнем контурах можно найти, например, в [35, 87].
Применение приближенных подходов. Для пластин переменной толщины (хотя в ряде случаев и может быть получено точное решение) применение различных приближенных методов, например метода Ритца, более эффективно. Для оценки основных частот удобной оказывается формула Релея
Широкое применение для определения собственных частот колебаний кольцевых и круговых пластин переменной толщины находит метод Стодолы. Его отличие от метода Ритца заключается в том, что минимизация проводится по параметру
входящему в выражение для аппроксимирующих функций.
для кольцевой круговой пластины с защемленным внутренним контуром радиуса а решение ищется в классе функций
Для каждого
находят частоту по схеме метода Ритца с дальнейшей минимизацией по параметру