9. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Общая схема метода конечных элементов (МКЭ). Континуальная система объема V, ограниченная поверхностью для которой ищется минимум функционала

аппроксимируется совокупностью элементов конечных размеров (физическая дискретизация) — конечными элементами объемов Элементы могут быть произвольной формы, но должны быть достаточно малыми, чтобы перемещения и любой точки элемента можно было выразить через перемещения некоторых точек на его поверхности (узлов).

Чаще всего для трехмерных областей используют КЭ в форме тетраэдров или параллелепипедов (в осесимметричных — тело вращения треугольного или прямоугольного сечения), для двухмерных областей — КЭ треугольной и прямоугольной формы.

Пусть для определенности пространство трехмерно, конечные элементы — произвольные тетраэдры. Занумеруем все узлы в Аппроксимируем поле перемещений в КЭ с номером к (рис. 3):

где вектор узловых перемещений КЭ составлен из векторов перемещений узлов Здесь и далее верхний индекс обозначает номер нижний — номер узла. Элементы матрицы функции формы КЭ (3 X 12) представляют в виде где подматрица влияния вектора Элементы выбирают так, чтобы совокупность перемещений (52) удовлетворяла условиям непрерывности внутри

Подстановка (52) в (51) приводит к задаче отыскания минимума функции многих переменных (узловых перемещений). Условие минимума имеет вид матричного уравнения

Рис. 3. Объемный конечный элемент

Здесь полный вектор узловых перемещений системы. Матрицу жесткости системы С и матрицу масс А составляют из соответствующих подматриц которые вычисляют по формулам

где матрица, определяемая соотношениями, по которым вычисляют деформации через перемещения; матрица упругих постоянных; плотность; верхний индекс, означающий транспонирование матрицы.

Из (53) следует уравнение определяющее собственные частоты. По найденным частотам из (53) определяют собственные формы колебаний системы. МКЭ дает оценки сверху для собственных частот.

Для повышения порядка точности вместо дробления области на более мелкие КЭ часто используют элементы с большим числом степеней свободы, что достигается введением внутренних узлов в КЭ. В целях лучшего приближения для областей сложной формы применяют криволинейные — изопараметрические КЭ [43, 86].

Применение МКЭ к задачам колебаний пластин [86]. Разобьем срединную плоскость пластины на конечные элементы прямоугольной формы. В качестве обобщенных перемещений узла принимают нормальный прогиб пластины и углы поворота нормали

Аппроксимируем функцию нормальных перемещений срединной плоскости пластины внутри конечного элемента с номером полиномом

Коэффициенты определяют из условий совпадения с обобщенными перемещениями четырех узлов

или в компактной форме Отсюда с учетом (54)

где

Матрицы для конечного элемента имеют вид

где упругие постоянные материала.

Интегрирование при вычислении ведется по площади КЭ на срединной плоскости пластины, толщина пластины).

Применение МКЭ к задачам колебаний оболочек. Каждый из конечных элементов на которые разбита срединная поверхность оболочки, можно рассматривать как пластину с двумя системами напряжений и деформаций — мембранной и изгибной. Вектор узловых перемещений, отнесенный к локальной системе координат элемента с номером имеет шесть составляющих:

где первые три компонента — перемещения узла, а последние — углы поворота относительно соответствующих осей. Перемещения в плоскости КЭ и из плоскости аппроксимируют независимо. Подматрицы жесткости и масс КЭ вычисляют в локальной системе координат, затем находят их компоненты в общей для всей оболочки системе координат (глобальной). Матрицы жесткости и масс формируют в глобальной системе координат.

Для определения собственных форм колебаний после вычисления собственных частот и соответствующих векторов узловых перемещений в глобальной системе координат к этой системе надо перейти и в выражениях, аппроксимирующих перемещения в каждом КЭ.

Связь МКЭ с методом Ритца. МКЭ можно рассматривать как один из вариантов метода Ритца. В классической форме метода Ритца функции, аппроксимирующие собственные формы, определены на всей области, занятой системой. В МКЭ функции подбираются для отдельных участков этой области (КЭ), достаточно малых, чтобы можно было применять функции наиболее простого вида.