5. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ
Формула Релея. Квадраты собственных частот и собственные формы связаны между собой тождественным соотношением
которое называют формулой Релея. Выражение, стоящее в правой части, называют дробью Релея. Формула (62) непосредственно следует из матричного уравнения (22). Развернутая запись этой формулы имеет вид
Числитель формулы (63) с точностью до 
равен максимальному во времени значению потенциальной энергии системы (10) при свободных колебаниях по соответствующей форме. Знаменатель с точностью до 
равен максимальному во времени значению кинетической энергии (3). Формула (63) может быть также непосредственно получена из теоремы о сохранении полной механической энергии.
Вариационные принципы для собственных частот и форм колебаний. Точное (хотя и тривиальное) соотношение (63) служит исходным пунктом для следующих вариационных принципов;
1) среди всех возможных значений вектора 
истинными формами колебаний будут те, которые сообщают дроби Релея стационарное значение;
2) вариационный принцип Релея — форма колебаний, соответствующая низшей (основной) собственной частоте, сообщает дроби Релея минимальное значение. Иначе говоря, низшая (основная) собственная частота удовлетворяет соотношению
в котором к сравнению допускаются любые значения вектора 0;
3) расширенный вариационный принцип Релея — собственная частота удовлетворяет соотношению
где 
первые 
собственных форм; — подпространство, элементы которого 
удовлетворяют условиям ортогональности
4) минимаксный вариационный принцип Куранта — собственная частота 
удовлетворяет соотношению
где 
произвольные линейно независимые векторы; 
— подпространство, элементы которого удовлетворяют условийм ортогональности
Вариационные принципы широко используют для построения приближенных алгоритмов вычисления собственных частот и форм колебаний при больших 
Кроме того, они позволяют оценить влияние некоторых изменений условий задачи на поведение собственных частот.
Влияние изменений инерционных и квазиупругих параметров на собственные частоты. Пусть параметры системы изменяются при неизменном числе степеней свободы. Тогда увеличение инерционности уменьшает или хотя бы оставляет неизменными собственные частоты исходной системы. Возрастание жесткости увеличивает или хотя бы оставляет неизменными собственные частоты. Для системы с одной степенью свободы это непосредственно следует из формулы (50). Для систем с произвольным конечным числом степеней свободы точная формулировка основана на теоремах о сравнении.
Пусть спектр собственных частот упорядочен с учетом кратности: 
Тогда прибавление к матрице А положительной матрицы не может увеличить ни одну частоту в этой последовательности, а прибавление к матрице С положительной матрицы не может уменьшить ни одну частоту в последовательности.
Влияние наложения связей на собственные частоты. Пусть на систему с 
степенями свободы наложено 
идеальных голономных связей. При рассмотрении частот и форм колебаний это означает, что в 
-мерном пространстве собственных форм 
выделено 
-мерное подпространство 
Рассмотрим спектр собственных частот системы со связями 
Выполняются следующие неравенства:
Эти соотношения обобщают неравенства (60), связывающие частоты системы с двумя степенями свободы с ее парциальными частотами. Согласно неравенствам (69) парциальные частоты всегда лежат в интервале, ограниченном частотами связанной системы, что согласуется с неравенствами (60).
Пример. На рис. 4 показаны собственные формы и обозначены частоты как тройного ятиика, так и систем, получаемых из него наложением связей. Из неравенств (69) вытекает, что, например,
Рис. 4. К влиянию наложения связей на собственные частоты
