Глава IX. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ УПРУГИХ СИСТЕМ
1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Общие замечания. Распространение теории свободных колебаний систем с конечным числом степеней свободы (см. гл. III) на распределенные системы осуществляется в рамках функционального анализа. Теория свободных колебаний упругих систем может рассматриваться как физическая интерпретация спектральной теории линейных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Операторные обозначения весьма удобны при изложении общих вопросов теории колебаний упругих систем, поскольку они придают предельную краткость и общность. Чтобы облегчить интерпретацию операторных обозначений, в табл. 1 и 2 дана их развернутая запись для некоторых классов упругих систем.
1. Операторы теории колебаний
(см. скан)
Уравнение свободных колебаний. Общая запись уравнений свободных колебаний упругих систем имеет вид
где и 
поле перемещений, заданное при 
и на некотором отрезке времени, например, при 
— инерционный оператор; С — упругий оператор.
Операторное уравнение (1) включает в себя не только дифференциальные уравнения, но и граничные условия (через область определения операторов). В дальнейшем множество функций, дифференцируемых по всем переменным должное число раз, интегрируемых с квадратом в области 
и удовлетворяющих всем граничным условиям (как кинематическим, так и динамическим), обозначим через 
Это множество обычно совпадает с областью определения упругого оператора С, что учтено в обозначениях. В дальнейшем полагаем, что 
Реализации уравнения (1) для различных типов упругих систем получаются из дифференциальных уравнений гл. VIII, если в этих уравнениях приравнять нулю члены, учитывающие внешние силы.
Собственные частоты и собственные формы упругих систем. Подстановкой типа
уравнение (1) приводится к уравнению относительно функции координат 
описывающей формы колеблющейся системы:
упругих одномерных систем
(см. скан)
2. Операторы теории колебаний упругих двухмерных систем
(см. скан)
Значения параметра 
при которых операторное уравнение (3) имеет решения, отличные от 
называют собственными значениями уравнения, а соответствующие ненулевые решения 
собственными элементами уравнения. Совокупность собственных значений называют спектром уравнения. Положительные значения квадратных корней из собственных значений уравнения (3) имеют смысл собственных частот, а собственные элементы совпадают с собственными формами колебаний упругой системы.
Уравнение (3) есть уравнение Остроградского — Эйлера для вариационной задачи о стационарных значениях квадратичного функционала
Здесь 
максимальное во времени значение потенциальной энергии упругой деформации системы, колеблющейся по закону (2); 
максимальное во времени значение кинетической энергии, взятое с точностью до множителя 
