2. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ

Общее решение задачи о свободных колебаниях. Рассмотрим линейную диссипативную систему, движение которой описывается матричным уравнением (1) с симметричными матрицами Уравнение будет удовлетворено, если положить

где комплексное число; комплексная числовая матрица-столбец. Числа X называют характеристическими показателями, а числа или комплексными частотами. Характеристические показатели X равны корням характеристического уравнения

или в разве том виде,

Система с степенями свободы имеет характеристических показателя Поскольку коэффициенты уравнения (7) являются действительными величинами, то все характеристические показатели либо действительные, либо попарно комплексно сопряженные величины. Каждому характеристическому показателю соответствует одно из частных решений уравнения (1). Если все характеристические показатели — простые корни уравнения (7), то общее решение уравнения (1) будет равно сумме частных решений типа (5):

Здесь произвольные комплексные постоянные, числовые матрицы-столбцы. Так как по условию решение является действительной величиной, а характеристические показатели связаны соотношением (звездочка означает переход к комплексно-сопряженной величине), то должно выполняться условие

Представим характеристические показатели в виде

где действительные числа, называемые коэффициентами демпфирования и собственными частотами демпфированной системы соответственно. Взяв действительную часть от выражения (8), получаем

где и - действительные постоянные величины; действительные матрицы-столбцы. При заданных начальных значениях всех обобщенных координат и скоростей постоянные однозначно определяются из начальных условий.

Если среди корней уравнения (7) имеются кратные, вид общего решения зависит от структуры элементарных делителей некоторой матрицы, формируемой из матриц Поскольку для рассматриваемого класса систем все эти матрицы симметричные, то все элементарные делители простые. Общее решение по-прежнему имеет вид (8) или (10), где каждому характеристическому показателю соответствует такое количество решений, какова кратность показателя.

Зависимость характера колебаний системы от свойств ее коэффициентов. Действительные характеристические показатели, представленные в виде (9), соответствуют монотонным (неколебательным) движениям системы, комплексные показатели — колебательным движениям. При этом частное решение будет затухающей,

периодической или неограниченно возрастающей функцией времени в зависимости от того, будет ли действительная часть соответствующего характеристического показателя отрицательна, равна нулю или положительна.

Для консервативной системы все характеристические показатели — чисто мнимые (рис. 1, а) и равны с точностью до собственным частотам системы. Все частные решения являются периодическими функциями времени, а движение в общем случае — стационарным (почти периодическим).

Если система диссипативная и обладает полной диссипацией, то все характеристические показатели лежат в левой полуплоскости комплексного переменного (рис. I, б).

Рис. 1. Расположение характеристических показателей на комплексной плоскости для различных систем: a - консервативной; с полной диссипацией; в — с неполной диссипацией; с отрицательной диссипацией

Все частные решения — затухающие функции, и, следовательно, общее решение — затухающая функция времени. Если система обладает неполной диссипацией, то часть ее показателей лежит в левой полуплоскости, а часть — на мнимой оси (рис. 1, в). Среди частных решений содержатся периодические, отвечающие незадемпфирован-ным степеням свободы.

Если система обладает отрицательной диссипацией, то среди характеристических показателей могут найтись такие, действительные части которых положительны (рис. 1, г). Соответствующие частные и общее решения будут неограниченно возрастающими во времени функциями.

Свободные колебания диссипативной системы с одной степенью свободы. При уравнение (1) принимает вид

где Это уравнение можно также представить в виде

g - коэффициент демпфирования; собственная частота соответствующей консервативной системы

Характеристические показатели

т. е. собственная частота демпфированной системы равна Общее решение (10) имеет вид

При движения системы будут иметь периодический характер, при они будут неограниченно затухать во времени, при будут неограниченно возрастающими. Если то затухание будет сопровождаться колебаниями. При затухание будет монотонным (кроме, может быть, небольшого начального отрезка времени). Значение коэффициента демпфирования соответствующее переходу от колебательного процесса затухания колебаний к монотонному, называют критическим.

Характеристики демпфирования. Коэффициент демпфирования задаваемый первой из формул (13), имеет размерность За безразмерную характеристику демпфирования может быть принята одна из следующих величин;

При первая величина может быть истолкована как относительное рассеяние энергии за один цикл колебаний, т. е. как отношение величины рассеянной энергии к среднему значению энергии колебательного процесса. Параметр равен натуральному логарифму отношения двух последовательных максимальных значений обобщенной координаты (логарифмический декремент колебаний):

Параметр равный отношению коэффициента демпфирования к его критическому значению, называют относительным демпфированием. Критическому демпфированию соответствуют значения Демпфирование можно считать малым, если выполнено хотя бы одно из условий:

Нормальные координаты для диссипативиых систем. По аналогии с консервативными системами (гл. III) будем называть нормальными координатами для диссипативных систем такие обобщенные координаты, при переходе к которым система уравнений (1) распадается на независимые уравнения. Запишем эти уравнения в виде

Нормальные координаты диссипативных систем существуют только при некоторых ограничениях, накладываемых на матрицы Это является отражением алгебраического факта — невозможности одновременного приведения трех произвольных квадратичных форм к сумме квадратов посредством линейного преобразования переменных.

Укажем два простейших частных случая, когда такое приведение возможно. Пусть диссипативная матрица В с точностью до числового множителя пропорциональна матрице инерционных коэффициентов, т. е. где некоторая постоянная. Тогда нормальные координаты диссипативной системы совпадают с нормальными координатами соответствующей консервативной системы, а коэффициенты демпфирования для всех нормальных координат равны

Примером может служигь система, изображенная на рис. 2. Уравнения диссипативной системы можно привести к виду (18), если все диссипативные силы, приложенные к сосредоточенным массам, пропорциональны этим массам: Демпфирование такого типа называют внешним.

Во втором случае диссипативная матрица пропорциональна квазиупругой матрице. Пусть где некоторая постоянная. Вновь нормальные координаты совпадают с таковыми для консервативной системы. Коэффициенты демпфирования пропорциональны квадратам собственных частот Этот тип демпфирования иногда называют внутренним (по аналогии с трением Фойхта в распределенных системах).

Рис. 2. Система с внешним трением

Случай малой диссипации. Назовем диссипацию мацой, если элементы матрицы достаточно малы по сравнению с элементами матрицы собственные значения которой равны квадратам собственных частот консервативной системы. Сравнивая матрицы по некоторой норме, представим условие малости диссипации в виде

В случае, если это условие равносильно соотношению

При малой диссипации можно в первом приближении пренебречь недиагональными элементами матрицы Тогда уравнение (1) приближенно приведется к виду (18) с коэффициентами демпфирования Этот прием оправдан в тех случаях, когда отсутствует достаточно достоверная информация о диссипативных связях в системе. Заметим, что при малой диссипации собственные частоты будут мало отличаться от собственных частот соответствующей консервативной системы.