3. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Основной метод. Метод состоит в исследовании обобщенной задачи о собственных значениях (7). К сожалению, даже в простейших случаях, когда эта задача допускает решение в замкнутом виде, исследование ее характеристических показателей и выделение областей устойчивости представляет трудную вычислительную задачу. Действительно, результат решения записывается в виде неявной зависимости характеристических показателей X от параметров

В отличие от систем с конечным числом степеней свободы, где левая часть уравнения (8) — полином от X, уравнение (8) для распределенных систем трансцендентное. Для нахождения критической поверхности обычно применяют метод, аналогичный методу -разбиения (см. гл. V). Полагая (где со пробегает значения ищут отображение мнимой оси при помощи функции на пространство параметров а, ( Исследование устойчивости несколько упрощается, если из предварительного анализа известны некоторые точки в пространстве параметров, заведомо принадлежащие области устойчивости.

Для численной реализации метода целесообразно применить алгоритм, основанный на минимизации модуля от левой части уравнения (8), которая рассматривается как функция параметров Таким образом, алгоритм включает в себя цикл по частоте формирование модуля комплексной функции и минимизацию модуля этой функции по

Метод нормальных координат. Решение ищут в виде ряда (2), где собственные формы соответствующей консервативной системы или, в более общем случае, некоторые функции, удовлетворяющие граничным условиям для и и обладающие в некотором смысле полнотой. Уравнения относительно обобщенных координат могут быть получены, например, методом Бубнова-Галеркина. Если функция и аппроксимируется конечным числом членов ряда, то приходим к задаче об устойчивости некоторой неконсервативной системы с конечным числом степеней свободы. Дальнейший анализ проводят, пользуясь методами из гл. V.

Метод функционалов Ляпунова. Строгий метод для получения достаточных условий устойчивости (неустойчивости) распределенных систем дает метод функций Ляпунова, распространенный на распределенные системы. Вместо функций Ляпунова в классическом методе используют функционалы Ляпунова, по поведению которых

вдоль фазовых траекторий системы можно судить об устойчивости (неустойчивости). Выбор функционалов Ляпунова обусловлен выбором метрики, по отношению к которой исследуется устойчивость и которая входит в строгое определение устойчивости распределенных систем.

Упрощенный метод исследования устойчивости. Большое число опубликованных численных результатов относится к задачам, которые приводят к уравнениям (6) при т. е. к таким задачам об устойчивости упругих систем при действии следящих нагрузок, где с самого начала не учитываются диссипативные силы. Уравнение (6) при подстановке принимает вид

Если все частоты действительные, то это квалифицируется как устойчивость решения Критические соотношения параметров ищут из условия, что при этих параметрах впервые появляется хотя бы одна пара кратных частот, которые затем становятся комплексными (рис 1, в).

К полученным таким упрощенным способом результатам следует относиться с осторожностью. Случай чисто мнимых характеристических показателей является сомнительным по Ляпунову, если рассматривать линейные уравнения как результат линеаризации соответствующих нелинейных задач. Даже введение сколь угодно малого демпфирования может существенно изменить выводы об устойчивости, полученные упрощенным методом [II, 100]. Исключение составляет случай внешнего трения. Если ввести в систему внешнее трение, а затем устремить его к нулю, то получатся условия устойчивости, совпадающие с теми, которые дает упрощенный метод. Чтобы избежать недоразумений, случай нахождения всех характеристических показателей на мнимой оси следует называть квазиустойчивостью, а значения параметров, при которых первая пара показателей покидает мнимую ось, — квазикритическими параметрами.

Пример. Консольный стержень. Пусть консольный стержень из вязкоупругого материала нагружен следящей силой и силой веса (рис. 4). Материал стержня — стандартный вязкоупругий, описываемый уравнением механического состояния

Рис. 4. Консольный стержень с неконсервативной нагрузкой

Здесь мгновенный модуль; длительный модуль; время релаксации, Уравнение малых колебаний стержня имеет вид

Оно решается при граинчиых условиях

Введем безразмерные параметры

где

Производя подстановку получим обобщенную задачу о собственных значениях

Уравнение (8), связывающее характеристические показатели с параметрами задачи, имеет вид

где корни уравнения

Задача сводится к отысканию условий, накладываемых на при которых все корни X уравнения (12) находятся в левой полуплоскости. Вид уравнений (12) и (13) дает представление о характере трудностей при вычислениях даже в этой относительно простой задаче.

Диаграмма устойчивости на плоскости параметров при различных значениях и при показана на рис. 5. Область устойчивости оставлена незаштрихованной. Штриховой линией показана граница области квазиустойчивости, которая получается, если вместо вязкоупругого стержня взять чисто упругий стержень. Существенно, что при учете демпфирования значительная часть области квазиустойчивости в действительности оказывается областью колебательной неустойчивости, причем с уменьшением область неустойчивости расширяется