Главная > Вибрации в технике, Т. 1. Колебания линейных систем
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Основной метод. Метод состоит в исследовании обобщенной задачи о собственных значениях (7). К сожалению, даже в простейших случаях, когда эта задача допускает решение в замкнутом виде, исследование ее характеристических показателей и выделение областей устойчивости представляет трудную вычислительную задачу. Действительно, результат решения записывается в виде неявной зависимости характеристических показателей X от параметров

В отличие от систем с конечным числом степеней свободы, где левая часть уравнения (8) — полином от X, уравнение (8) для распределенных систем трансцендентное. Для нахождения критической поверхности обычно применяют метод, аналогичный методу -разбиения (см. гл. V). Полагая (где со пробегает значения ищут отображение мнимой оси при помощи функции на пространство параметров а, ( Исследование устойчивости несколько упрощается, если из предварительного анализа известны некоторые точки в пространстве параметров, заведомо принадлежащие области устойчивости.

Для численной реализации метода целесообразно применить алгоритм, основанный на минимизации модуля от левой части уравнения (8), которая рассматривается как функция параметров Таким образом, алгоритм включает в себя цикл по частоте формирование модуля комплексной функции и минимизацию модуля этой функции по

Метод нормальных координат. Решение ищут в виде ряда (2), где собственные формы соответствующей консервативной системы или, в более общем случае, некоторые функции, удовлетворяющие граничным условиям для и и обладающие в некотором смысле полнотой. Уравнения относительно обобщенных координат могут быть получены, например, методом Бубнова-Галеркина. Если функция и аппроксимируется конечным числом членов ряда, то приходим к задаче об устойчивости некоторой неконсервативной системы с конечным числом степеней свободы. Дальнейший анализ проводят, пользуясь методами из гл. V.

Метод функционалов Ляпунова. Строгий метод для получения достаточных условий устойчивости (неустойчивости) распределенных систем дает метод функций Ляпунова, распространенный на распределенные системы. Вместо функций Ляпунова в классическом методе используют функционалы Ляпунова, по поведению которых

вдоль фазовых траекторий системы можно судить об устойчивости (неустойчивости). Выбор функционалов Ляпунова обусловлен выбором метрики, по отношению к которой исследуется устойчивость и которая входит в строгое определение устойчивости распределенных систем.

Упрощенный метод исследования устойчивости. Большое число опубликованных численных результатов относится к задачам, которые приводят к уравнениям (6) при т. е. к таким задачам об устойчивости упругих систем при действии следящих нагрузок, где с самого начала не учитываются диссипативные силы. Уравнение (6) при подстановке принимает вид

Если все частоты действительные, то это квалифицируется как устойчивость решения Критические соотношения параметров ищут из условия, что при этих параметрах впервые появляется хотя бы одна пара кратных частот, которые затем становятся комплексными (рис 1, в).

К полученным таким упрощенным способом результатам следует относиться с осторожностью. Случай чисто мнимых характеристических показателей является сомнительным по Ляпунову, если рассматривать линейные уравнения как результат линеаризации соответствующих нелинейных задач. Даже введение сколь угодно малого демпфирования может существенно изменить выводы об устойчивости, полученные упрощенным методом [II, 100]. Исключение составляет случай внешнего трения. Если ввести в систему внешнее трение, а затем устремить его к нулю, то получатся условия устойчивости, совпадающие с теми, которые дает упрощенный метод. Чтобы избежать недоразумений, случай нахождения всех характеристических показателей на мнимой оси следует называть квазиустойчивостью, а значения параметров, при которых первая пара показателей покидает мнимую ось, — квазикритическими параметрами.

Пример. Консольный стержень. Пусть консольный стержень из вязкоупругого материала нагружен следящей силой и силой веса (рис. 4). Материал стержня — стандартный вязкоупругий, описываемый уравнением механического состояния

Рис. 4. Консольный стержень с неконсервативной нагрузкой

Здесь мгновенный модуль; длительный модуль; время релаксации, Уравнение малых колебаний стержня имеет вид

Оно решается при граинчиых условиях

Введем безразмерные параметры

где

Производя подстановку получим обобщенную задачу о собственных значениях

Уравнение (8), связывающее характеристические показатели с параметрами задачи, имеет вид

где корни уравнения

Задача сводится к отысканию условий, накладываемых на при которых все корни X уравнения (12) находятся в левой полуплоскости. Вид уравнений (12) и (13) дает представление о характере трудностей при вычислениях даже в этой относительно простой задаче.

Диаграмма устойчивости на плоскости параметров при различных значениях и при показана на рис. 5. Область устойчивости оставлена незаштрихованной. Штриховой линией показана граница области квазиустойчивости, которая получается, если вместо вязкоупругого стержня взять чисто упругий стержень. Существенно, что при учете демпфирования значительная часть области квазиустойчивости в действительности оказывается областью колебательной неустойчивости, причем с уменьшением область неустойчивости расширяется

1
Оглавление
email@scask.ru