2. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА (МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ)

Метод применяется в том случае, когда для рассматриваемой задачи можно указать «близкую» систему, решение которой получается достаточно просто. Пусть краевая задача для уравнения

при краевых условиях (1) имеет собственные значения (собственные частоты) и собственные функции (собственные формы колебаний) и коэффициенты операторов мало отличаются от коэффициентов операторов исходного уравнения (3) гл. IX. Система, описываемая уравнением (12), называется порождающей или невозмущенной, а исходная система — возмущенной. Если для порождающей системы требуется выполнение условия самосопряженности, то для возмущенной системы этого не требуется. Считается, что операторы возмущений пропорциональны некоторому малому параметру

Решение исходной (возмущенной) системы представляется в виде разложения по степеням малого параметра Ц:

Поправку к форме собственных колебаний находят из решения неоднородных краевых задач

которые получаются после подстановки (14) и (13) в (3) гл. IX и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра Ц- Поправку к частоте в каждом следующем приближении определяют из условия существования решения рассматриваемого приближения, состоящего в требовании выполнения условий ортогональности правых частей неоднородных систем (15) к собственной функции порождающего решения

Поправка к частоте в первом приближении

Поправка к собственной функции должна удовлетворять при этом уравнению (15) при с учетом (17) и исходным краевым условиям (1). Решение задачи для неоднозначно. Оно определяется с точностью до с постоянным множителем. Этот член обычно отбрасывают, считая, что он учитывается в разложении (14). При получении окончательного решения следует принять

Замечание. Если имеет кратность а, так что этому значению соответствуют а собственных форм колебаний то необходимо поставить условия ортогональности ко всем что приведет к расщеплению частот В первом приближении поправка к каждой из «расщепленных» частот