5. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Предварительные замечания. Асимптотические методы, использующие свойства спектра упругих колебаний при высоких частотах, предназначены для эффективного определения высших частот и форм. В некоторых случаях асимптотические методы оказываются пригодными и при определении основных частот и форм. Асимптотический метод [10, 87] применим для упругих тел, занимающих прямоугольную в обобщенном смысле область в пространстве Он пригоден для краевых задач с квазиразделяющимися переменными. Исходными будут уравнения (3) гл. IX с краевыми условиями (1).

Идея метода заключается в использовании при высоких частотах свойств малой зависимости спектров упругих колебаний от краевых условий и концепции динамического краевого эффекта. Полагают, что для внутренней области справедливо порождающее решение типа (5), вообще говоря, не удовлетворяющее краевым условиям. На это порождающее решение накладывают у каждого края корректирующие решения, которые убывают при удалении от края во внутреннюю область и позволяют удовлетворить всем краевым условиям. Полученные решения для двух противоположных краев стыкуются. Процедура стыковки позволяет получить систему трансцендентных уравнений для параметров, определяющих порождающее (внутреннее) решение и динамические краевые эффекты, а затем получить асимптотические выражения для частот.

Схема метода. Порождающее решение характеризуется волновыми числами и фазовыми характеристиками 5а- Подстановка порождающего решения в уравнение (3) гл. IX дает связь между параметром и волновыми числами Затем в уравнениях заменяют ее выражением через Далее строят решение у каждого края. С использованием условия квазиразделяемости находят уравнение для одним из решений которого является [см. (5) и (6)]. Кроме того, для возможности построения решения необходимо, чтобы полученная система допускала порядок системы) линейно независимых решений, обладающих свойством краевого эффекта, т. е. затухающих при удалении во внутреннюю область.

Сумма порождающего и корректирующего решений содержит постоянных при помощи которых удовлетворяются условий на границе и условие нормировки. Волновые числа на этом этапе предполагаются известными. Требуется, чтобы решения, построенные у двух противоположных сторон области, занимаемой упругим телом, совпадали во внутренней области с точностью до малой невязки. Условия стыковки дают уравнения для определения волновых чисел. По известной связи между находят частоты собственных колебаний.

Примеры приложения асимптотического метода для определения частот и форм собственных колебаний пластин и оболочек приведены в гл. XII и XIII.