3. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Плотности вероятности многомерного случайного процесса. Плотность вероятности -мерного случайного процесса характеризующая распределение значений непрерывной векторной случайной функции для любых значений параметра вводится как

Здесь и ниже неравенства в правой части означают неравенств для соответствующих компонентов векторного процесса, элемент объема в

Совместные плотности вероятности многомерного случайного процесса вводятся при помощи соотношении

Здесь реализация векторного процесса в момент времени Совместные плот ности вероятности, как и в случае одномерного процесса, должны удовлетворять условиям нормировки, согласованности и симметрии.

Моментные функции многомерного процесса. Последовательность моментных функций векторного случайного процесса получается перемножением значений компонентов вектора при различных и осреднением по множеству реализаций

Для исчерпывающего описания многомерного случайного процесса необходимо задать либо полную систему совместных плотностей вероятности (22), либо полную систему моментных функций (23). Связь между двумя способами описания дается формулами типа (7), обобщенными на многомерный случай.

Взаимная корреляционная функция. Центральные моментные функции от компо нентов многомерного процесса

называют взаимными корреляционными функциями. Свойства взаимных корреляционных функций аналогичны свойствам элементов корреляционной матрицы (11), но эти свойства не тождественны. Например, условие симметрии (10) принимает вид

Спектральное разложение многомерного случайного процесса. Рассмотрим случай канонического интегрального разложения типа (15)

в котором спектры удовлетворяют условию стохастической ортогональности (27)

Функции называют взаимными спектральными плотностями векторного процесса

Стационарные и стационарно связанные многомерные процессы. Многомерный случайный процесс называют стационарным, если все его компоненты стационарны, или стационарно связанным, если все его взаимные вероятностные характеристики инвариантны относительно выбора начала отсчета времени. Взаимная корреляционная функция стационарного и стационарно связанного процесса зависит лишь от разности При этом свойство симметрии (25) принимает вид

Спектральное разложение стационарных и стационарно связанных процессов. Для стационарных и стационарно связанных процессов функция в

разложении (26) определяется как а спектры являются комплексно-значными функциями частоты. Взаимные спектральные плотности стационарного и стационарно связанного процесса — действительные функции частоты при и комплексно-значные при Свойства взаимной спектральной плотности действительного многомерного процесса следуют из свойств взаимной корреляционной функции:

Нормальные (гауссовские) процессы. Действительный случайный процесс называют нормальным (гауссовским), если его -мерные плотности вероятности при любом являются гауссовскими. Например, в случае плотность вероятности нормального процесса

Здесь — дисперсия процесса в момент времени — коэффициент корреляции. Плотность вероятности полностью задается математическим ожиданием и корреляционной функцией

Совместные плотиости вероятности (22) для многомерного случайного процесса подчиняются нормальному закону распределения. Например, для -мерного случайного процесса одноточечная плотность вероятности

Здесь матрица, элементами которой являются взаимные корреляционные функции (24), взятые в совпадающие моменты времени элементы обратной матрицы. Многомерный нормальный процесс полностью задается математическим ожиданием и взаимными корреляционными функциями