4. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ С ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Системы с одной степенью свободы. Кинетическая и потенциальная энергии системы равны соответственно

а дифференциальное уравнение свободных колебаний имеет вид

Собственная частота

где единичная податливость, соответствующая квазиупругому коэффициенту с.

Пример. Для математического маятника массой и длиной I имеем

где угол наклона маятника относительно положения равновесия. Отсюда Применение формулы (50) дает

В виде другого примера возьмем опертую по концам балку длиной I с постоянной изгибной жесткостью Единичная податливость будет Отсюда по формуле (50)

Формулы для вычисления собственных частот системы с одной степенью свободы приведены в табл. 1.

Свободные колебания системы с одной степенью свободы, удовлетворяющие начальным условиям описываются выражением

которое можно трактовать как частный случай формул (45) и (46).

Системы с двумя степенями свободы. Кинетическая и потенциальная энергии системы равны соответственно

а дифференциальные уравнения свободных колебаний имеют вид

(см. скан)

(см. скан)

Составим характеристическое уравнение (уравнение собственных частот)

или в развернутом виде

Положительные корни биквадратного уравнения (57) представляют собой собственные частоты системы. Собственные формы задаются парой векторов

которые можно определить с точностью до постоянных множителей. Для отношения составляющих этих векторов имеем формулу

Парциальные частоты и диаграмма Вина. Введем параметры

имеющие размерность частоты и совпадающие с собственными частотами системы при Эти частоты называются парциальными; их введение соответствует разделению системы на две подсистемы, называемые парциальными системами. В большинстве случаев такое разделение допускает механическое истолкование. Связанность между парциальными системами может быть инерционной (через инерционные коэффициенты квазиупругой (через квазиупругие коэффициенты или комбинированной. Различают слабую связанность, при которой побочные элементы матриц удовлетворяют неравенствам и сильную связанность.

Рис. 2. Диаграмма Вина

Понятие о парциальных системах позволяет сформулировать некоторые общие качественные выводы о влиянии параметров системы на ее собственные частоты. Один из выводов можно выразить в виде неравенств

где равенство достигается в случае отсутствия связанности между парциальными системами. Неравенства (60) удобны для предварительной оценки собственных частот на основании данных, относящихся к парциальным системам.

Более подробную информацию дает график (рис. 2), называемый диаграммой Вина. Штриховые линии на рисунке соответствуют слабой связанности, сплошные линии — более сильной связанности. В связанной системе одна из собственных частот системы всегда меньше, вторая — больше, чем любая из парциальных частот, причем влияние связанности на частоты будет тем больше, чем связанность сильнее и чем ближе друг к другу парциальные частоты.

(см. скан)

Продолжение табл. 1 (см. скан)

Сведения об инерционных и квазиупругих коэффициентах. Формулы для собственных частот систем с двумя степенями свободы, как правило, слишком громоздки. Поэтому ограничимся тем, что приведем в табл. 2 выражения для инерционных и квазиупругих коэффициентов. Там, где это целесообразно, вместо квазиупругих коэффициентов даны соответствующие единичные податливости В табл. 3 содержатся также некоторые данные для систем с тремя и большим числом степеней свободы.

Свободные колебания систем с циклическими координатами. Понятие о циклических координатах было дано в гл. II. Приведенная выше теория свободных колебаний в линейных консервативных системах неприменима к системам, содержащим циклические координаты. В таких системах квадратичная форма потенциальной энергии (13) не будет содержать членов с циклическими координатами. Поэтому в положении потенциальная энергия не будет обладать изолированным минимумом, т. е. не будут выполнены условия (1) Между системы с циклическими координатами часто встречаются в технике. Примером могут служить свободно вращающиеся в опорах роторы (циклическая координата — поворота ротора как твердого тела), неуправляемые летательные аппараты (если не учитывать влияния внешних сил, то все шесть обобщенных координат, описывающих движение аппарата как твердого тела, будут циклическими).

Вообще, циклические координаты описывают монотонные, происходящие вследствие инерции процессы. Если по отношению к остальным обобщенным координатам потенциальная энергия системы является положительно определенной формой, то изменение этих координат во времени является колебательным процессом. Для вибрационных расчетов наибольший интерес представляют нециклические координаты. Из уравнений движения можно исключить все циклические координаты. Но можно также пользоваться уравнениями (22) и (23). При этом циклическим координатам

(см. скан)

соответствуют нулевые собственные частоты, остальным обобщенным координатам — собственные частоты, отличные от нуля.

Пример. Упругий вал с двумя дисками (рис. 3) свободно вращается в подшипниках и может совершать крутильные колебания. Квазиупругий коэффициент вала с жесткостью на крушение И расстоянием между дисками равен Моменты инерции дисков обозначим через их углы поворота — через Кинетическая и потенциальная энергия системы соответственно равны

Рис. 3. Крутильные колебания вала с двумя дисками

Обобщенные координаты и не являются циклическими; однако потенциальная энергия системы не удовлетворяет условию (1). Вводя новые координаты (угол поворота одного из дисков и угол закручивания вала), получим

Отсюда видно, что координата циклическая Уравнение собственных частот при первом выборе обобщенных координат

а во втором случае

Корни этих уравнений, разумеется, совпадают. Одна из собственных частот нулевая; она соответствует вращению вала как твердого тела с постоянной угловой скоростью, задаваемой начальными условиями. Ненулевая собственная частота