6. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К СИСТЕМАМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Общая схема сведения. Поскольку непосредственный анализ устойчивости по уравнениям в частных производных затруднителен, то в прикладных расчетах их обычно сводят к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого функции разлагают по некоторому базису с коэффициентами — функциями времени.

Полагая в уравнении (25)

где - достаточно представительная система вектор-функций, удовлетворяющих всем граничным условиям для и применяя вариационный метод Бубнова-Галеркина, придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов ряда (26). Представим эту систему

в матричной форме, используя (поскольку это не приведет к недоразумениям) для матриц те же обозначения, что и для соответствующих им операторов:

Здесь вектор-столбец из функций Элементы матриц вычисляют по формулам

Вместо метода Бубнова-Галеркина можно использовать вариационный принцип Гамильтона-Остроградского для соответствующего квадратичного функционала. Это позволяет расширить класс допустимых базисных функций, введя в рассмотрение функции, которые удовлетворяют всем кинематическим, но не обязательно всем динамическим граничным условиям. Уравнения относительно функций сохраняют вид (27), а элементы матриц определяют по формулам (28) с заменой скалярного произведения на соответствующие энергетические произведения.

Разложение по собственным формам колебаний. Собственные формы колебаний — ненулевые решения уравнения

образуют полную систему функций данной задачи, так что разложение

позволяет получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат эквивалентную исходным уравнениям в частных производных. Система типа (27) приводится при этом к бесконечной системе уравнений [113]

где собственные частоты незагруженной системы. В отличие от (28) в уравнениях (31) использованы обозначения

Особый случай. Пусть собственные элементы задачи (29) и задач

совпадают. Это значит, что собственные формы колебаний совпадают с формами потери устойчивости при действии статических нагрузок, заданных с точностью до параметров . В этом случае, называемом особым, уравнения бесконечной системы (31) распадаются на независимые уравнения, каждое из которых описывает поведение одной из обобщенных координат

Здесь критические значения параметров в задачах статической устойчивости, равные собственным значениям операторных уравнений (33) при

Стержень постоянного сечения, опертый по концам и сжатый постоянной по дтине продольной силой, — пример особого случая. Уравнение (14) и граничные условия

(15) удовлетворяются при помощи подстановки

Здесь функции решения уравнений типа (34):

При

Неизвестные в уравнениях типа (31) разделяются также в более общем случае, когда совпадают собственные элементы уравнений

Первое из них отвечает задаче о собственных колебаниях системы, загруженной статическими силами с параметром а. Его собственные значения равны квадратам собственных частот загруженной системы. Уравнения типа (31) принимают вид

где — собственные значения второго из уравнений (38), имеющие смысл тических значений параметра при совместном статическом действии обеих групп нагрузок.

Уравнения (34) могут быть приведены к виду (39), если положить

Тогда вместо (34) имеем

Наиболее часто встречающиеся задачи динамической устойчивости, приводящие к уравнениям типа (34) и (39), приведены в табл. 1.

Обобщенный особый случай. Представляют интерес такие задачи, для которых бесконечная система (31) распадается на группы, состоящие из конечного числа независимых уравнений. Пусть в операторном уравнении есть вектор-функция размерности

причём собственные элементы уравнений (29) и (33) распадаются на группы по элементов в каждой и допускают представление

Здесь вектор-функции координат; и — числовые матрицы размерностью Верхний индекс указывает номер группы, нижний — номер элемента в группе. Представление (43) означает, что вектор-функции, описывающие формы колебаний и формы статической потери устойчивости, составляются для одноименных координат из одинаковых функций. При приходим к особому случаю.

(см. скан)

Решение операторного уравнения (25) для каждой группы ищут в виде ряда по собственным формам, входящим в эту группу:

В результате приходим к последовательности систем обыкновенных дифференциальных уравнений, каждая из которых содержит уравнений:

Здесь собственные частоты, упорядоченные при помощи двух индексов — коэффициенты, определяемые по формулам типа (32):

Такой случай частичного разделения обобщенных координат в уравнениях теории динамической устойчивости упругих систем называют обобщенным особым случаем.

Уравнения типа (45) для частных задач проще получить, если представить искомое решение в форме

Здесь компоненты вектор-функции Полученные уравнения переходят в (45) при помощи линейного преобразования с матрицей

Рис. 8. Упругая балка, опертая по концам и нагруженная в плоскости наибольшей жесткости моментами

Пример. Рассмотрим задачу о динамической устойчивости плоской формы изгиба балки. Пусть упругая балка оперта по концам и нагружена в плоскости наибольшей жесткости моментами (рис. 8). Рассмотрим изгибно-крутильиые колебания, происходящие из этой плоскости. Поперечный прогиб и угол поворота удовлетворяют уравнениям

где жесткость при кручении; радиус инерции сечения. Граничные условия имеют вид

Решение ищем в виде

где искомые функции времени. Представление (50) соответствует формуле (47). Подстановка формул (50) в уравнения (48) позволяет записать

(см. скан)

Здесь и — собственные частоты изгибиых и крутильных колебаний балки соответственно, т. е.

Другие примеры задач, относящихся к обобщенному особому случаю, приведены в табл 2

Приближенное сведение к конечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений. В общем случае для приближенного расчета приходится проводить редукцию бесконечных систем уравнений к конечным системам. Количество членов, удерживаемых в разложениях (30), устанавливается из физических соображений. Если для данной упругой системы и для рассматриваемого диапазона частот собственные формы колебаний достаточно близки к формам потери устойчивости, то в первом приближении можно пренебречь связью обобщенных координат, заменив бесконечную систему (31) последовательностью независимых уравнений [113]:

Элементы выражают через приближенные значения критических параметров

В результате приходим к уравнениям особого случая (34).

Пример. Рассмотрим задачу о динамической устойчивости круговой пластииьг, защемленной по контуру Пусть пластина иагрулеиа в срединной плоскости равномерными усилиями интенсивностью (рис 9) Поперечные колебания пластины описываются уравнением

с граничными условиями

Рис. 9, Круговая пластина, защемленная по контуру и нагруженная в срединной плоскости равномерными усилиями интенсивностью

Собственные формы и собственные частоты находят из выражений (14), (17) и (18) гл. ХП Первый индекс равен числу узловых окружностей минус единица, второй — числу узловых диаметров у собственных форм Уравнения типа (53) принимают вид

где приближенные значения критических параметров статической нагрузки, определяемые по формуле