5. РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННЫХ ТЕОРИЙ
Уравнения и краевые условия. Условие применимости классической теории в терминах волновых чисел имеет вид
При невыполнении этого условия применяют уточненные теории. Для варианта (124) гл. VIII выделение гармонического множителя
дает уравнения
На каждой стороне пластины должно выполняться по три условия. Для условий опирания типа условий Навье
где 
связаны с 
формулами (123) гл. VIII. Если пластина заделана по кромкам, то
Пластина с краевыми условиями Навье. Для краевых условий (54) переменные разделяются при подстановке
Уравнение частот получают после подстановки (56) в (53) и приравнивания нулю определителя системы для 
где
Одна из частот
Две другие определяют из уравнения
где характерная частота
имеет смысл собственной частоты продольных колебаний пластины в направлении, нормальном к срединной плоскости. При условии 
частота, определяемая (59) (обозначим ее 
расположена между частотами, являющимися корнями уравнения (60), так что 
Таким образом, у пластин при учете сдвигов и инерции вращения нормальных элементов существуют три серии частот. Наименьшая частота при этом
где 
Эта частота соответствует преимущественно изгибным колебаниям и при малых 
близка к значению частоты, определяемому по классической теории. Вообще при выполнении условия 
имеют место следующие оценки:
Приближенное выражение для 
имеет вид
Результаты определения частот изгибных колебаний по уточненным теориям, по классической теории и по трехмерной теории для квадратной опертой пластины 
представлены в табл. 8.
8. Результаты применения различных методов определения изгибных частот прямоугольных пластин
(см. скан)
Применение асимптотического метода. Метод применяют при условии, что динамические краевые эффекты не вырождаются. Порождающее решение имеет вид
Подстановка (64) в (53) приводит к уравнению частот, совпадающему с (57). Решение, соответствующее динамическому краевому эффекту для края 
можно записать следующим образом:
Функции 
находят из системы уравнений
Характеристическое уравнение
имеет корни
При этом для первой серии частот 
для второй серии частот 
и для третьей серии
Из формул (70) и (71) видно, что динамический краевой эффект для второй и третьей серий частот оказывается вырожденным. Для первой серии краевой эффект вырождается при 
где 
Таким образом, при учете деформаций сдвига и инерции вращения нормальных элементов динамический краевой эффект для преимущественно изгибных колебаний вырождается при больших волновых числах (сильное влияние условий на контуре на поведение во внутренней области). Область применения асимптотического метода фактически совпадает с областью, где уточненная теория дает достоверные результаты.
