Часть вторая. КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

Глава VIII. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

1. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА — ОСТРОГРАДСКОГО ДЛЯ УПРУГИХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

Предварительные замечания. Под упругими распределенными системами понимают упругие механические системы с непрерывно распределенными массой и жесткостью. Они имеют бесконечное число степеней свободы. В отличие от систем с сосредоточенными параметрами (с конечным числом степеней свободы ), динамическое поведение которых можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координату (см. часть первую), поведение распределенных систем описывают дифференциальными уравнениями в частных производных относительно некоторых функций координат и времени. Распределенные упругие системы называют линейными, если они описываются линейными уравнениями в частных производных. При решении задач динамики для распределенных упругих систем, кроме начальных условий, требуется формулировка краевых условий.

Вариационный принцип. Сформулированный в гл. II принцип Галшльтона для систем с конечным числом степеней свободы может быть распространен на распределенные системы. Если внешние силы обладают потенциалом то после введения интеграла действия

(где кинетическая энергия; потенциальная энергия деформации упругой системы) вариационный принцип Гамильтона — Остроградского принимает форму

Для упругого тела, занимающего объем V, ограниченный поверхностью интеграл действия может быть представлен в следующем виде:

объемная плотность лагранжиана; поверхностная плотность; часть поверхности где заданы усилия. При этом зависят от перемещений точек тела в направлениях координатных осей и их первых производных по координатам и времени.

В общем случае поведение упругой системы при введении соответствующих гипотез описывает вектор-функция и с компонентами может быть как меньше, так и больше 3). Объемная и поверхностная плотности лагранжиана зависят от и;

и их производных по координатам и времени t (порядок производных может быть любым, но в большинстве практически используемых случаев порядок производных по координатам а по времени

Уравнения движения и краевые условия. Уравнения Остроградского — Эйлера вариационной задачи (2) дают уравнения движения и естественные краевые условия Например, для двухмерной упругой системы, когда лагранжиан не содержит третьих и более высокого порядка производных от уравнения и естественные крае условия имеют вид

где компоненты вектора внешней нормали к границе соответ ственно направляющие косинусы нормали и касательной к контуру

Здесь использовано правило суммирования по немым (повторяющимся) индек сам Это правило будет использоваться в дальнейшем (по греческим индексам суммирование от 1 до 2, по латинским — от 1 до 3)

Выражения в (5) являются коэффициентами в подынтегральном выражении поверхностною интеграла при вариациях Следовательно, естественные краевые условия соответствуют незакрепленному по граничной поверхности телу В противоположном случае, когда соответствующие смещения (повороты и отсутствуют, то вариации равны нулю Таким образом, в зависимости от характера закрепления граничной поверхности должны выполняться условия

Краевые условия, записанные в виде (6), называют альтернативными