4. ОБЛАСТИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Общая схема метода малого параметра. Метод малого параметра позволяет получить достаточно простые приближенные соотношения для границ областей неустойчивости, если глубина модуляции параметров, а также диссипация в системе достаточно малы. В этом случае уравнение (1) может быть записано в виде

где и симметричные положительно определенные постоянные матрицы; периодические матрицы-функции; малый параметр. Матрицы кроме того, являются аналитическими функциями в окрестности

По предположению диссипация в системе и глубина модуляции параметров имеют одинаковый порядок малости. В реальных задачах эти факторы, как правило, изменяются независимо. Можно также построить схему вычислений, где используется разложение по степеням двух независимых малых параметров.

Пусть собственные частоты соответствующей консервативной системы, т.е. корни уравнения В обычной схеме вычислений, помимо разложения в ряд по степеням малого параметра искомого решения, используют разложение частоты возбуждения или соответствующего периода. Допустим, что нужно построить решение в окрестности одной из критических частот, задаваемых соотношениями (18) или (19). Обозначим эту частоту через Введя безразмерное время и разлагая частоту в ряд ищем решение уравнения (44) в виде

Последовательно решая уравнения метода малого параметра, найдем приближенные значения характеристических показателей (15) также в виде рядов по степеням В области асимптотической устойчивости действительные части всех характеристических показателей должны быть отрицательны. Отрезки границ областей неустойчивости, примыкающие к частоте найдем, приравняв нулю действительные части соответствующих характеристических показателей.

Формулы первого приближения. Приведем формулы первого приближения (рассчитанные с точностью до для случая, когда уравнение параметрических колебаний имеет вид

Здесь матрицы симметричные, положительно определенные постоянные матрицы; постоянная матрица произвольной структуры. Параметр малости в диссипативный член не введен, хотя предполагается, что диссипация имеет порядок малости (или менее). Используя нормальные координаты [см. формулу (38) гл. III], преобразуем уравнения (46) к главным осям матрицы

При этом

где V — матрица, составленная по столбцам из собственных форм консервативной системы. Введем обозначения для безразмерных диагональных элементов матрицы диссипации: При малой диссипации именно эти величины в основном определяют демпфирование свободных колебаний. Элементы матрицы обозначим через

Границы областей неустойчивости при простых главных резонансах определяют по приближенной формуле

Таким образом, в первом приближении взаимодействие главных обобщенных координат не влияет на условия возбуждения основных резонансов. Формула (49) эквивалентна по точности формуле (39) для системы с одной степенью свободы. Одна формула переходит в другую, если разложить внешний радикал в (39) в] степенной ряд, удержать два члена и заменить обозначения. Расхождение в формулах (39) и (49) объясняется тем, что они получены различными приближенными методами.

Формула для случая отсутствия диссипации вытекает из (49) при

Результат с точностью до членов порядка совпадает с приближенной формулой (35).

Для главных комбинационных резонансов суммарного типа аналогично получаем [137, 142]

Эта формула включает в себя только парное взаимодействие форм колебаний входящих в условие комбинационного резонанса (независимо от числа степенен свободы и характера взаимодействия остальных форм). Если то резонанс на сумме частот не обнаруживается даже при сколь угодно малой диссипации. Вместо него появляется резонанс разностного типа с граничными частотами

Если диссипация отсутствует, то граничные частоты главных комбинационных областей неустойчивости даются приближенными формулами

Метод обобщенных определителей Хилла. Метод малого параметра приводит к простым формулам первого приближения типа (49)-(53) для границ главных областей неустойчивости. Уточнение этих формул, а также расчет побочных резонансов требует построения высших приближений. Эти приближения громоздки и плохо алгоритмизируются для численной реализации. К тому же метод становится ненадежным, если глубина модуляции параметров и (или) коэффициенты диссипации не малы. Наконец, применение метода встречает затруднения при переходе к существенно неканоническим системам.

В основе метода обобщенных определителей Хилла [9] лежит представление одного из решений общего уравнения (3) в форме (14). Пусть матрица-функция в уравнении (3) разложена в ряд Фурье по времени:

с постоянными коэффициентами—матрицами Разлагая периодическую вектор-функцию в решении (14) в аналогичный ряд, ищем это решение в виде

Здесь неизвестный характеристический показатель; и неизвестные числовые векторы. Подстановка рядов (54) и (55) в уравнение (3) после приравнивания коэффициентов при одинаковых функциях времени приводит к бесконечной системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно компонентов вектора — коэффициентов ряда (55). Условие существования ненулевого решения этой системы состоит в равенстве нулю ее определителя. Таким образом, характеристические показатели являются корнями алгебраического уравнения

где матрицы бесконечного порядка, причем матрица К имеет следующую блочную структуру:

При достаточно широких предположениях о свойствах матриц бесконечный определитель оказывается сходящимся и, следовательно, допускает редукцию к определителям конечного порядка.

Приближенные уравнения для основных параметрических резонансов. На границах областей неустойчивости, отвечающих простым резонансам (18), уравнение (3) имеет хотя бы одно либо либо -периодическое решение. Отсюда можно вывести, что коэффициенты уравнения на границах этих областей удовлетворяют следующим соотношениям:

при -периодическом решении или

при - периодическом решении

Пусть параметрические колебания описываются уравнением (46). Границы главных областей неустойчивости вблизи простых резонансов могут быть найдены из приближенного уравнения

Левая часть обобщает центральный определитель в уравнении (37). Если то вместо (60) получаем уравнение, обобщающее формулу (35):

Тогда приближенные значения характеристических показателей могут быть найдены как корни алгебраического уравнения достаточно высокой степени, а исследование устойчивости решения уравнения (3) сводится к чисто алгебраической задаче.

Все вычисления в методе Хилла производят над матрицами блочной структуры, что упрощает алгоритмы и программы для вычислений на ЭВМ. Точность вычислений может быть оценена сопоставлением результатов, относящихся к двум или нескольким приближениям последовательно возрастающего порядка. В этом методе не используется ни малость глубины модуляции, ни малость демпфирования, ни близость системы к канонической. Необходимое для удержания число членов в рядах (54) и (55) зависит от области частот, в которой ищется решение. Для расчета области неустойчивости вблизи побочного резонанса порядка нужно сохранить в разложениях (54) и (55) по крайней мере гармоники до порядка включительно.

Алгоритм метода обобщенных определителей Хилла. Для системы с степенями свободы при сохранении в рядах Фурье (54) и (55) первых гармоник соответственно размерность матрицы К равна В связи с высокой размерностью могут встретиться затруднения при проверке условий устойчивости. Если система обладает полной и достаточно сильной диссипацией, следует отдать предпочтение критерию Зубова. Если диссипация отсутствует или она не является полной, то в области устойчивости все или часть характеристических показателей — чисто мнимые. Критерии Рауса — Гурвица и Зубова в этих случаях непригодны. Устойчивость проверяют непосредственным вычислением комплексных корней уравнения (56).

Метод матриц перехода. Весьма эффективный численный метод, приспособленный для ЭВМ [14], основан непосредственно на общей теории. Этот метод состоит в вычислении матрицы перехода (монодромии) и исследовании мультипликаторов как собственных значений этой матрицы. Первая часть алгоритма — построение матрицанта непосредственным численным интегрированием уравнения (3), например, по методу Рунге — Кутта; для этого нужно решить задач Коши с начальными условиями, следующими из (7). Матрица перехода находится как значение матрицанта в конце первого периода, Другая существенная часть алгоритма —

проверка условий (ищутся условия асимптотической устойчивости) или (условия устойчивости по Ляпунову). В первом случае наиболее эффективным методом, особенно при высоких размерностях матрицы и при немалом демпфировании, является исследование норм матриц в последовательности

Этот метод входит как составная часть в критерий Зубова для систем с постоянными параметрами. Во втором случае приходится непосредственно вычислять корни уравнения и проверять условие

Расчет на ЭВМ устойчивости систем с кусочно-постоянными коэффициентами. Эти системы рассматривают не только как самостоятельные модели, но и используют для аппроксимации весьма общего класса систем с кусочно-непрерывными коэффициентами. Матрица перехода выражается при этом через элементарные функции. Пусть в уравнении (3)

Здесь постоянные матрицы. Матрицант вычисляется как произведение экспоненциальных матричных функций

Матрица перехода имеет вид

При реализации на ЭВМ целесообразно вычислять матричные экспоненты при помощи разложения в ряд Тейлора

Для нормы остаточного члена можно дать оценку

Ряд (65) обрывается, как только величина, стоящая в правой части соотношения (66), станет меньше, чем установленная малая часть (например, от частичной суммы.