2. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ

Дифференциальные уравнения и краевые условия. Исходными служат уравнения технической теории стержней (см. гл. VIII) при На каждом краю должно быть поставлено по два условия. Основные виды краевых условий представлены в табл. 6 гл. VIII. Решение может быть получено методом разделения переменных. Выделение временного множителя путем подстановки

приводит для стержня с постоянными по длине параметрами к уравнению

где

Граничные условия для получают после подстановки в исходные условия выражения (12) и сокращения на временной множитель

Общее решение. Применение метода начальных параметров. Функции Крылова. Решением уравнения (13) является функция

Представление общего решения в виде (15) не явпяется единственным В качестве фундаментальной системы могут быть использованы другие функции, являющиеся линейными комбинациями функций, входящих в (15). В частности, вместо (15) можно взять выражение

При решении большого класса задач удобно использовать фундаментальную систему Коши Линейно-независимые функции составляющие эту систему, являются линейными комбинациями функций, входящих в (15), и обладают тем свойством, что матрица Коши для этих функций при является единичной

Фундаментальной системой Коши в случае изгибных колебаний стержней с постоянными по длине параметрами являются функции

где функции Крылова:

Общее решение, соответствующее методу начальных параметров, имеет вид

Функции Крылова и их производные по х, как это следует из (18) и (17), при составляют единичную матрицу. Таблицы численных значений функций Крылова можно найти в [87, 100]. Функции Крылова и их производные связаны соотношениями (штрих означает дифференцирование по

Используя эти выражения, нетрудно получить выражения для производных от

Собственные частоты и собственные формы колебаний. Для получения частотного уравнения необходимо привлечь краевые условия (см. табл. 6 гл. VIII). Подстановка в краевые условия одного из видов общих решений (15), (16) или (20) с учетом (22) приводит к однородной системе уравнений относительно постоянных, входящих в эти решения. Условия существования ненулевого решения для постоянных дает уравнение частот. Ненулевое решение определяет форму собственных колебаний. Для некоторых основных видов краевых условий частотные уравнения и их корни, а также формы собственных колебаний представлены в табл. 4.

4. Уравнения собственных частот и собственных изгибных колебаний стержней для некоторых граничных условий

(см. скан)

Пример. Рассмотрим процедуру получения собственных частот и собственных форм колеба Если стержень, защемленный на одном конце, на другом оперт на линейно упругую опору с коэффициентом с (рис 1), то краевые условия для

Первые два условия (23) позволяют переписать решение (20) в виде

Подстановка (24) в последние два условия (23) с учетом (21) и (22) дает

Уравнение частот имеет вид

или

где

Используя выражения для функций Крылова (19), получим следующее уравнение частот

Зависимость первых двух корней уравнения (29) от показана на рис. 2. При уравнение (29) переходит в уравнение

совпадающее с уравнением для консольного стержня (см табл 4) При уравнение (29) перейдет в

совпадающее с уравнением частот для стержня, один конец которого заделан, а второй свободно оперт (см. табл. 4).

Рис. 1. К примеру определения частот и форм собственных колебаний

Рис. 2. Зависимость корней уравнения (29) от

Если корень уравнения (29), то собственная частота

Форма колебаний определяется функцией

Балочные функции. Собственные формы изгибгых колебаний стержней с постоянными по длине характеристиками для различных краевых условий называют балочными функциями. Так, формула (33) определяет балочную функцию для стержня с одним заделанным и другим опертым на линейную пружину концом. Для других

видов краевых условий балочные функции представлены в табл. 4. Функции, соответствующие собственной частоте, обозначают обычно через Балочные функции широко используют в качестве системы базисных функций для приближенного решения различных задач теории колебаний упругих распределенных систем. Это обусловлено тем, что будучи собственными формами колебаний, они обладают свойствами ортогональности и полноты, что вытекает из общей теории собственных колебаний распределенных систем (см. гл. IX).

Замечание 1. В табл 4 балочные функции не нормированы. Обычно производят нормировку

Замечание 2. В приложениях, в частности при применении вариационных методов (Ритца, Бубнова — Галеркина и др приходится вычислять интегралы, содержащие балочные функции и их производные. Вычисление этих интегралов балочных функций можно найти в руководствах [3, 87, 100, 109]

5. Условия сопряжения участков для стержней с кусочно-постоянными характеристиками

(см. скан)

Колебания стержней с кусочно-постоянными характеристиками. Уравнение собственных частот колебаний стержней в этом случае может быть получено путем применения метода начальных параметров. Решение для каждого участка записывается в виде (20). Две константы, входящие в выражение (20), для первого участка выражают при помощи краевых условий для этого участка при Условия сопряжения при переходе от одного участка к другому позволяют последовательно выразить все константы на любом участке через две константы первого участка, оставшиеся неопределенными. Удовлетворение условий на последнем участке при для неопределенных постоянных дает линейную однородную систему алгебраических уравнений, из условия существования ненулевого решения которой следует уравнение частот. Условия сопряжения при переходе от одного участка к другому приведены в табл. 5.

6. Зависимости для частотных коэффициентов для стержней, имеющих промежуточные опоры и сосредоточенные массы

(см. скан)

Колебания неразрезиых балок. Описанный выше метод применим для неразрезных балок. Однако более предпочтительно в этом случае использовать уравнения трех моментов номер пролета, совпадающий с номером правой опоры):

Если все пролеты одинаковы, то (35) принимает вид

Некоторые данные, определяющие частотные параметры, для различных стержней с промежуточными опорами и сосредоточенными массами приведены в табл. 6. Данные для многопролетных неразрезных стержней приведены в табл. 7 [100].

7. Корни уравнения частот у. для многопролетных стержней

(см. скан)

Замечание. Частоты неразрезных стержней с равными пролетами образуют «зоны сгущення». В каждой такой зоне находится чигло частот, равное числу пролетов стержней, а значения частот близки между собой.

Влияние начальных осевых усилий на собственные колебания. Исходным является уравнение (84) гл. VIII при Общее решение этого уравнения может быть записано в следующей форме:

где

Для опертой по концам балки форма определяется функцией

а частоты при

где собственные частоты [см. (32), где стержня без учета продольной силы; значение эйлеровой критической силы. Таким образом, наличие растягивающей продольной силы приводит к увеличению собственных частот, а при действии сжимающей продольной силы — к уменьшению. При собственная частота обращается в нуль (рис. 3).

Рис. 3. Влияние начальных осевых усилий на собственные частоты изгибных колебаний стержней

Замечание 1. Формулы, аналогичные (40), могут быть получены для других краевых условий стержня

Замечание 2. При больших растягивающих значениях силы вместо (40) может быть использована приближенная формула

(на рис. 3 эта зависимость дана штриховыми линиями).

Влияние сдвигов и инерции вращения. Для стержней небольшой длины уравнения технической теории (см. гл. VIII) становятся неприменимыми. В этом случае необходимо использовать уравнения Тимошенко (см. формулу (93) гл. VIII), учитывающие влияние поперечных сдвигов и инерции вращения поперечных сечений.

Общее решение для прогиба имеет форму (37), где параметры

Здесь

Для опертой по концам балки частоты определяют по формуле

Замечание. Для стержней переменного сечения задачу о собственных колебаниях решают приближенными методами (см. гл. X). Точное решение в бесселевых функциях возможно для балок в форме клина или конуса. Примеры применения приближенных методов для Определения собственных частот и собственных форм изгибных колебаний стержней можно найтн в [2, 35, 87, 100, 109].