Глава XII. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ УПРУГИХ ПЛАСТИН
1. ПЛАСТИНЫ, ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ В ПЛАНЕ
Уравнения. В случае свободных колебаний в уравнении (111) гл. VIII следует положить 
Подстановка 
приводит при 
к уравнению
Краевые условия имеют тот же вид, что и (112) гл. VIII при замене 
на 
Краевые условия Навье. Для шарнирно опертых по контуру пластин
переменные разделяются. Формы собственных колебаний описываются функциями
Колебания по форме 
происходят с собственной частотой
Краевые условия Леви. Если на двух противоположных сторонах пластины реализуются условия свободного опирания типа (2), то формы колебаний описываются следующими функциями:
где 
удовлетворяет уравнению
и краевым условиям, соответствующим характеру закрепления на других сторонах. Эти условия служат для определения произвольных постоянных, входящих в общее решение
где
Уравнение частот получается в виде равенства нулю определителя системы для 
Например, если остальные кромки защемлены, так что выполняются условия
то уравнение частот имеет вид
Формы колебаний определяются функциями (5) с учетом (7), если для 
взять ненулевое решение соответствующей однородной системы при 
где 
корень уравнения (9). Если на двух противоположных сторонах при 
реализуются одинаковые условия, то уравнение частот распадается на два уравнения, соответствующие симметричным и антисимметричным формам. Уравнения частот для различных сочетаний краевых условий приведены в табл. 1.
Замечание. Разделение переменных возможно также при реализации на двух противопо ложных сторонах условий скользящей заделки или комбинации опирания и скользящей заделки. Вместо (5) следует принять в первом случае
во втором
1 Уравнения частот для прямоугольных пластин
(см. скан)
Защемленные или свободные по контуру пластины. Точного решения для данного случая в замкнутом виде получить не удается. Здесь можно применять различные приближенные подходы: вариационные методы (Релея, Ритца, Бубнова-Галеркина. и др.), численные методы (конечных разностей, конечных элементов), комбинированные методы и т. д. Так, по формуле Релея основная частота
В качестве аппроксимирующих функций для форм собственных колебаний могут быть использованы произведения балочных функций (см. гл. XI):
Выражение для частоты записывается в виде
Значения безразмерного коэффициента 
для различных случаев закрепления пластин можно найти в руководствах [2, 20, 35, 77, 87, 93, 100, 101, 109, 139]. Там же можно найти значения этого коэффициента для анизотропных пластин, пластин переменной толщины, пластин с сосредоточенными элементами и для других случаев.
