7. КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК

Перемещения и деформации в тонких оболочках. Оболочкой называют тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с основными размерами тела. В классической теории оболочек справедливы гипотезы Кирхгофа — Лява, состоящие в следующем: нормальный элемент к недеформированной срединной поверхности оболочки остается прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности и не изменяет своей длины; нормальные напряжения пренебрежимо малы. Энергетическая погрешность гипотез Кирхгофа — Лява в случае оболочек равиа где минимальный радиус кривизны оболочки.

Пусть оболочка отнесена к ортогональной криволинейной системе координат так что ось направлена по нормали к срединной поверхности, а линии совпадают с линиями кривизны. Перемещения в любой точке оболочки

где перемещения точек срединной поверхности, а углы поворота

где главные кривизны; — параметры Ламе.

Существенные компоненты деформации связаны с деформациями срединной поверхности и изменениями кривизн соотношениями

где

Здесь и далее в тексте запись означает, что не выписанные вторые соотношения получаются круговой перестановкой индексов 1 и 2. Выражение для приведено в форме, данной В. В. Новожиловым [78].

Уравнения движения. Потенциальная энергия деформации тонких упругих оболочек

Кинетическая энергия

Использование выражения для виртуальной работы внешних сил

и применение принципа Гамильтона — Остроградского приводит к уравнениям движения

Уравнения движения в перемещениях. Для их получения необходимо использовать связь между усилиями и моментами с деформациями

В свою очередь, деформации связаны с перемещениями формулами (128), (129) Усилия выбраны так, чтобы удовлетворялось шестое уравнение (133) (соотношения Балабуха — Новожилова).

Краевые и начальные условия. На каждом краю оболочки должны быть заданы краевые условия, соответствующие характеру закрепления края. Альтернативные краевые условия имеют вид

или Различные виды условий приведены также в табл. 7.

7. Основные типы краевых условий для оболочек

(см. скан)

При решении динамических задач должны быть поставлены начальные условия

Уравнения безмоментной теории. Безмоментное состояние имеет место, если энергией изгиба и кручения можно пренебречь по сравнению с энергией растяжения-сжатия срединной поверхности. В уравнениях (133) в этом случае следует пренебречь изгибающими и крутящими моментами и поперечными силами:

Число граничных условий на одном краю должно быть уменьшено вдвое. Из (135) следует сохранить только первые два условия. Энергетическая погрешность безмоментной теории Таким образом, безмоментная теория пригодна для достаточно тонких оболочек при колебательных процессах с большим масштабом изменения напряженно-деформированного состояния срединной поверхности

Уравнения технической теории. Если характерные тангенциальные перемещения — характерное нормальное перемещение), то вместо (126) и (129) справедливы соотношения

и уравнения движения для оболочек постоянной толщины принимают вид

где оператор определяется согласно (113).

Пологие оболочки. Уравнения Доннелла — Муштари — Власова. Считают, что для пологих оболочек интенсивности тангенциальных усилий как и тангенциальных перемещений, составляют величины порядка (и менее) от интенсивности и нормального перемещения соответственно. Кроме того, предполагают, что тангенциальными силами инерции можно пренебречь. Тогда первым двум уравнениям в (133) можно удовлетворить, если ввести функцию напряжений по формулам

Недостающее уравнение, связывающее получают, используя уравнения совместности деформаций срединной поверхности. В результате получают систему уравнений

где оператор определяется согласно (113), а

Если метрика срединной поверхности меняется достаточно медленно по сравнению с и то можно считать постоянными и пренебречь производными от этих величин по координатам

Если оболочка достаточно Пологая, так что криволинейные координаты мало отличаются от координат на плоскости, то можно положить Уравнения движения тогда принимают вид

Уравнения полубезмоментной теории. Эту теорию можно применять в том случае, когда при колебаниях характер напряженно-деформированного состояния таков, что масштаб изменяемости в одном направлении много меньше, чем в перпендикулярном направлении В этом случае оболочку в одном направлении рассматривают как моментную, а в другом — как безмоментную. Уравнения движения в данном случае принимают вид

Уравнения краевого эффекта. Для изучения напряженно-деформированного состояния у края оболочки (например, быстро убывающего при удалении во внутреннюю область, можно использовать уравнения, которые получаются из (141), если пренебречь зависимостью от координаты Уравнения движения будут в данном случае следующими:

При исключении из этих уравнений получим

где до определяется тангенциальными краевыми условиями.

Учет влияния предварительного безмоментного состояния. Параметрические члены. Члены, входящие в уравнения колебаний и содержащие компоненты предварительного безмоментного состояния, называют параметрическими. Наиболее общие выражения для этих членов имеют вид

где соответствуют предварительному безмоментному напряженному состоянию. Величины и определяют согласно (126) и (128) и, кроме того,

Если удлинения и сдвиги малы по сравнению с углами поворота и с углом вращения элемента срединной поверхности относительно нормали то в (148) следует опустить члены, содержащие Далее, если деформации срединной поверхности и вращение элемента вокруг нормали пренебрежимо малы по сравнению с углами наклона то вместо (148) можно использовать выражения

При изучении преимущественно изгибных форм колебаний с применением соответствующих гипотез параметрические члены следует взять в виде

Пример. Цилиндрическая оболочка радиуса находится под внутренним давлением и продольным растягивающим усилием Параметрические члены имеют вид

В случае колебаний с большим числом волн в окружном направлении в (152) следует сохра нить только подчеркнутые члены

Более подробные сведения, касающиеся различных вариантов уравнений движения тонких упругих оболочек, можно найти в [1, 9, 25, 26, 27, 33, 35, 78, 79, 87, 100, 101, 102, 109, 132].