5. АНАЛОГИИ В ДИНАМИКЕ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Существование динамических аналогий между механическими, электрическими, акустическими и тому подобными системами основано на формальном сходстве дифференциальных уравнений, описывающих колебательные движения этих систем. Выводы, полученные путем исследования дифференциального уравнения движения системы, могут быть распространены на динамически аналогичные системы иной природы. Рассмотрим аналогии между механическими системами и электрическими цепями.

Аналогия «сила — напряжение». Для механической системы с степенями свободы кинетическая энергия, потенциальная энергия, виртуальная работа и диссипативная функция определяются соотношениями (11), (13), (31) и (45).

Рассмотрим -контурную электрическую цепь, состоящую из источников напряжения активных резисторов конденсаторов емкостью С - и катушек индуктивности Ток в контуре

где количество электричества. Энергия магнитного поля такой цепи

энергия электрического поля

диссипативная функция, характеризующая потери энергии на активном сопротивлении,

Обобщенная сила и диссипатнвная функция связаны соотношением

а виртуальная работа напряжений в электрической цепи

Рассмотренные характеристики механической и электрической систем подобны. Для составления динамических уравнений электрической цепи могут быть применены уравнения (36) Лагранжа второго рода (уравнения Лагранжа-Максвелла), если за обобщенные координаты принять количества электричества

Для механической системы

для электрической

Уравнения (90) выражают второй закон Кирхгофа для электрической цепи: алгебраическая сумма э. д. с. в любом контуре цепи равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах этого контура.

Кинетической энергии механической системы соответствует энергия магнитного поля, потенциальной энергии — энергия электрического поля, диссипативной функции — функция ценным силам

Уравнения (89) и (90) для системы с одной степенью свободы имеют вид

и

Уравнение (91) описывает вынужденные колебания механической системы с одной степенью свободы, уравнение (92) — вынужденные колебания в одноконтурной электрической цепи (рис. 12).

Аналогия «сила — ток». Для электрической системы с парами узлов, в которой за обобщенные координаты выбраны электрические напряжения выражения (84),

(85) и (86) имеют соответственно вид

Здесь кинетической энергии механической системы соответствует энергия электрического поля, потенциальной энергии — энергия магнитного поля, обобщенным силам — скорость изменения тока.

Уравнения Лагранжа второго рода для электрической системы по аналогии «сила — ток» выражают первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю

Рис. 12. Одноконтурная электрическая цепь

Рис. 13. Электрическая цепь с одной парой узлов

Запишем дифференциальное уравнение электрической цепи с одной парой узлов (рис. 13):

В табл. 2 приведены выражения для потенциальной и кинетической энергии, диссипативной функции и обобщенных сил для систем с одной степенью свободы для различных типов аналогий.

2. Выражения для аналогий «сила — напряжение» и «сила — ток»

(см. скан)

Электромеханические системы. Объединение механической и электрической систем в общий рабочий блок, в котором преобразование механической и электромагнитной энергии взаимно обратимо, называется электромеханической системой. Примерами таких систем могут служить электрические генераторы, громкоговорители, микрофоны, вибраторы и т. п.

Пример. Рассмотрим электромеханическую систему (рис. -внбровозбудитель, состоящий и массы установленной на пружинах жесткостью с, демпфера с коэффициентом демпфирования и подвижной кагушки, помещенной в однородное магнитное поле с магнитной индукцией В Катушка имеет индуктивность и активное сопротивление На обмотку катушки подается переменное напряжение Электрическая цепь системы приведена на рис. 15

Рис. 14. Пример электромеханической системы (вибровозбудитель)

Рис. 15. Электрическая цепь электромеханической системы

Введем обобщенные координаты: к лннейное смещение массы заряд, соответствующий току в цепи. Выражения для кинетической, потенциальной энергии и диссипативной функции (табл. 2) имеют вид

Обобщенная сила находится по формуле Здесь обобщенная сила, действующая на подвижную катушку; I — эффективная длина катушки. Коэффициент называют коэффициентом связи; индуцированное напряжение в подвижной катушке. Уравнения Лагранжа (89), (90) можно записать так;

Второе уравнение (98) может быть получено непосредственно из второго закона Кирхгофа, составленного для цепи (см. рис. 15):

С учетом принятых в соотношении (83) обозначений выражение (99) приводится ко второму уравнению (98).