6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ

Установившиеся колебания в системах с «внешним» трением. Уравнение вынужденных колебаний системы при наличии «внешнего» трейия имеет вид

При установившихся вынужденных колебаниях под действием нагрузки наличие трения в системе приводит к сдвигу фаз между нагрузкой

и перемещением В этом случае решение для следует представить в виде

где некоторые вектор-функции координат. Если представляет собой скалярное поле и то

Здесь амплитуда и начальная фаза колебаний, которые соответственно равны

Функции определяют из системы уравнений

Подстановка (40) в краевые условия после приравнивания коэффициентов при дает условия для определения

Используя метод комплексных амплитуд (см. гл. VI) при рассмотрении внешней нагрузки в виде где комплексная амплитуда нагрузки, и разложение тнпа (22) для комплексной амплитуды перемещения

получим для V), уравнения

Здесь собственное значение уравнения (6); амплитуды обобщенных сил, определяемые согласно (26) с заменой на

После решения уравнения (45) выражение для искомого перемещения записывается в виде

Установившиеся вынужденные колебания в вязкоупругих системах. При применении метода комплексных амплитуд (см. гл. VI) исходным является уравнение

где С — линейный вязкоупругий оператор. Подстановка приводит к уравнению

связывающему комплексные амплитуды и перемещения и нагрузки. При этом образ оператора С в пространстве Фурье преобразований. Если С содержит в качестве множителя единственный вязкоупругий оператор (например, аналог модуля упругости), то имеет место соотношение где тангенс потерь, зависящий только от частоты. Уравнение (48) преобразуется в этом случае к виду

Далее стандартными методами решают краевую задачу для уравнения (49) при соответствующих краевых условиях. Для определения установившихся вынужден колебаний используют действительную часть найденного решения.

Применение метода разложения по собственным формам дает

В (50) через обозначена собственная частота системы с оператором С.

Неустановившиеся вынужденные колебания в диссипативных системах. Колебания системы описываются уравнением

где В — линейный диссипативный оператор. оператор В такой, что Тогда относительно обобщенных координат имеем следующую систему уравнений:

Здесь обобщенные силы определяют по формуле (35). Уравнения (52) рассматривают при начальных условиях (36), связаны с соотношениями (37). Общее решение задачи может быть записано в форме

где .