3. НЕДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Уравнение вынужденных колебаний имеет вид

где вектор обобщенных координат; матрицы инерционных и квази-упругих коэффициентов; вектор амплитуд внешних вынуждающих сил.

Непосредственное решение. Оно основано на представлении вектора обобщенных координат в виде После выделения временного множителя задача об установившихся вынужденных колебаниях сводится к решению неоднородной системы линейных алгебраических уравнений:

Решение этой системы существует, если Тогда

Определитель системы (11) равен нулю при совпадении частоты внешнего возбуждения с одной из собстренцых частот рассматриваемой механической системы со

При амплитудные коэффициенты обобщенных координат становятся неопределенными. В этих случаях говорят о резонансах на определенных частотах. Например, «резонанс на первой собственной частоте» и т. д. Условием существования резонанса является совпадение частоты внешнего возбуждения с одной из собственных частот Однако возможен случай, когда при совпадении частот резонанса не будет; он реализуется при выполнении дополнительного условия означающего, что внешние силы не совершают работы на перемещениях, соответствующих форме собственных колебаний.

Рис. 7. Пример отсутствия резонанса на первой частоте системы

Рис. 8. Двухмассовая система

Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика Для массы двухмассовой системы

При этом существует решение системы алгебраических уравнений (11) с определителем, равным нулю, когда ранги матрицы системы и расширенной матрицы равны (рис. 7).

Пример. Рассмотрим уравнения вынужденных колебаний двухмассовой системы (рис. 8):

Частное решение системы (13), описывающее стационарную часть процесса, имеет вид Амплитуды колебаний масс соответственно равны

Из выражений (14) видно, что масса остается неподвижной, если В этом случае (рис. 9).

Рис. 10. Система с четырьмя степенями свободы

Режим вынужденных колебаний системы при ,соответствует антирезонансу на первой обобщенной координате Возможность возникновения аитирезоианса используют при устройстве динамического гасителя колебаний.

Пример. Система с четырьмя степенями свободы, совершающая установившиеся вынужденные колебания, показана на рис. 10. Периодическая внешняя сила приложена к массе

Амплитуды установившихся вынужденных колебаний масс и подставлены на рис. 11 как функции от возбуждающей частоты Резонансы установившихся колебаний возникают при частоте совпадающей с одном из собственных частот и

Рис. 11. Амплитуды установившихся вынужденных колебаний как функции от возбуждающей частоты

Масса имеет три частоты антирезонанса, находящиеся в интервалах между соседними собственными частотами. Масса обладает двумя антирезонансами, масса одним антирезонансом. Для массы аитирезонансное состояние невозможно.

Использование главных нормальных координат. Основной идеей введения главных нормальных координат является представление движения в виде разложения по формам собственных колебаний. С математической точки зрения введение главных нормальных координат заключается в преобразовании переменных, приводящем одновременно к главным осям матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов. Следствием этого является расчленение исходной системы на отдельные, независимые уравнения.

Введем преобразование

где V — матрица, составленная по столбцам из форм собственных колебаний. С учетом соотношений

и преобразования вектора статического перемещения к главным осям исходная система представляется в виде

Каждое уравнение (17) описывает поведение системы с одной степенью свободы. Решение каждого уравнения (17) имеет вид

Для получения решения в исходных обобщенных координатах необходимо учесть преобразование (15)

При этом должно быть выражено через статические перемещения.