5. ПЛОТНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ

Понятие о функции распределения и плотности собственных частот. Пусть спектр собственных частот — точечный, но достаточно плотный, так что в диапазоне частот, представляющем интерес для приложений, находится достаточно много собственных частот. Это типично для тонких пластин и оболочек, а также для трехмерных тел, находящихся под действием широкополосного возбуждения. Функция распределения собственных частот вводится следующим образом:

где единичная функция Хевисайда. Производная от функции распределения

называется плотностью собственных частот. Так как где дельта-функция, то точное выражение для плотности собственных частот можно записать через сумму дельта-функций.

Асимптотические распределения и плотность собственных частот. Задание точного распределения частот полностью определяет весь спектр. Для качественных и некоторых количественных выводов о динамическом поведении упругих систем достаточно иметь приближенные сведения о распределении собственных частот. Пусть некоторые безразмерные параметры системы, малые по сравнению с единицей (например, относительная толщина пластины или оболочки).

Рис. 2. Распределение частот: а — точное; б - асимптотическое; в — эмпирическое

Функцию частоты называют асимптотической функцией распределения собственных частот по отношению к параметрам если она связана с точной функцией распределения соотношением

В отличие от асимптотическая функция распределения — дифференцируемая или кусочно-дифференцируемая функция Производную

называют асимптотической плотностью собственных частот. Асимптотические распределения особенно удобны в том случае, когда они позволяют выделить наиболее существенные факторы и получить приближенные оценки для целого класса упругих систем.

Эмпирическое распределение собственных частот. Группируя собственные частоты по некоторым достаточно широким отрезкам, вычислим среднюю плотность спектра на каждом отрезке, т. е. число частот, приходящихся на единицу частотной оси. Эту плотность будем называть эмпирической и обозначать через Связь с точной функцией распределения видна из формулы

где точки разбиения спектра. Как и асимптотическая плотность частот, эмпирическая плотность не определяется единственным образом, так как ее значения зависят от способа разбиения частотной оси. Введенные понятия проиллюстрированы на рис. 2.

Общие формулы для вычисления асимптотических плотностей собственных частот. Для получения асимптотических распределений необходимо иметь точные или приближенные аналитические выражения для собственных частот во всем интересующем нас частотном диапазоне. Пусть собственные частоты упорядочены при помощи параметров принимающих дискретные положительные значения.

Чаще всего этими параметрами являются волновые числа, характеризующие собственные формы (например, числа, обратные длинам волн вдоль координатных осей). Назовем соответствующий вектор волновым вектором. Зависимость а также объем ячейки приходящийся на одну частоту спектра, будем считать заданными. Асимптотическая функция распределения собственных частот (рис. 3)

Рис. 3. К обоснованию формулы для асимптотического распределения частот

Эта формула будет тем точнее, чем медленнее меняется функция в рассматриваемой области. Асимптотическую плотность частот вычисляют согласно (37) дифференцированием функции

где т. е. интегрирование в (40) производится по поверхности равных значений собственных частот в пространстве волновых чисел.

Если функция неоднозначная, то следует выделить однозначные ветви и применить к каждой ветви формулы (39) и (40). В результате получаем

где причем предусмотрена возможность изменения объема ячейки в пространстве волновых чисел. Если упругая система такова, что может быть разбита на части, в каждой из которых плотность частот подсчитывается независимо, то плотность частот для системы в целом получают суммированием по частям системы. Если число таких частей достаточно велико, а функция достаточно медленно меняется при переходе от одной части к другой, то для приближенной оценки плотности частот можно провести интегрирование «локальной» плотности по всей области, занятой системой.

Асимптотические точки сгущения собственных частот. Если в какой-либо точке поверхности градиент функции обращается в нуль, то интеграл (40) при частоте может расходиться. В этом случае говорят, что частота соответствует асимптотическому сгущению собственных частот. В этой точке оси со касательная к кривой становится вертикальной. Необходимо подчеркнуть, что асимптотические точки сгущения характеризуют лишь асимптотические (приближенные) распределения. Вблизи точек сгущения наблюдается некоторое увеличение средней

(см. скан)

плотности частот, тем более резкое, чем ближе асимптотическая оценка к точному распределению.

Асимптотическое распределение собственных частот для некоторых классов упругих систем. Данные об асимптотических распределениях даны в табл. 3. Для стержней, совершающих продольные или крутильные колебания, а также для колеблющихся струн собственные частоты распределены приблизительно равномерно. Асимптотически равномерное распределение наблюдается также для тонких пластин и для трехмерных упругих тел, все измерения которых сопоставимы. Плотность частот для стержней, совершающих изгибные колебания, с увеличением частоты уменьшается. Более сложный характер носит распределение собственных частот для тонких упругих оболочек (см. гл. XIII).