3. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. ОБЛАСТИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ — ХИЛЛА

Уравнение Матье — Хилла. Уравнение колебаний днссипативиой системы с одной степенью свободы приводится к виду

где использованы обозначения, приведенные в гл. III. Кроме того, введены обозначения для -периодической функции возбуждения и коэффициента возбуждения При из уравнения (20) получаем уравнение Матье — Хилла

Если то уравнение (20) приводится к виду (21) подстановкой

Функция и удовлетворяет уравнению

Области неустойчивости уравнения Матье — Хилла на плоскости примыкают к частотным соотношениям

Гармоническое параметрическое возбуждение. Области неустойчивости уравнения Матье. При гармоническом возбуждении уравнение (21) называют уравнением Матье. Запишем его в виде

или в другой употребительной форме

Переход одной записи к другой осуществляется при помощи формул

(см. скан)

распределение областей неустойчивости на плоскости а показано на рис. 3. На гпанице областей уравнение (26) имеет периодические решения, обозначаемые (функции Матье целого порядка). Диаграмму, приведенную на рис. 3, называют диаграммой Айнса — Стретта.

На рис. 4 изображены первые три области неустойчивости на плоскости Клинья областей примыкают к частотам (24). Относительная ширина области главного параметрического резонанса имеет порядок

Рис. 3 Диаграмма Айнса—Стретта

Рис. 4. Первые три области неустойчивости для уравнения Матье

При достаточно малых границы этой области могутбыть рассчитаны по формуле

Относительная ширина второго, третьего и т. д. побочных резонансов имеет порядок Формулы для расчета границ первых пяти областей неустойчивости даны в табл. 1.

Кусочно-постоянное параметрическое возбуждение. Области неустойчивости уравнения Мейсснера. Если функция кусочно-постоянная, то фундаментальная система решений и, следовательно, матрица перехода могут быть построены в замкнутом виде в элементарных функциях.

Границы областей неустойчивости вычисляют из условия

решения уравнения (21), удовлетворяющие начальным условиям Пусть, например,

Уравнение (21) с функцией в виде (30) называют уравнением Мейсснера. Условие (29) для этого уравнения

Области неустойчивости для уравнения Мейсснера показаны на рис. 5. В отличие от рис. 4 по оси ординат отложено обратное частотное отношение Характерным для этой системы является «перекручивание» областей неустойчивости.

Рис. 5. Области неустойчивости для уравнения Мейсснера

Рис. 6. Области неустойчивости для уравнения Матье с демпфированием при

Определение областей неустойчивости уравнения Матье — Хилла в общем случае. Пусть функция представлена в виде сходящегося ряда Фурье

На границах первой, третьей и т. д. областей неустойчивости одно из решений будет -периодическим. Используя этот факт, ищем границы этих областей из условия существования решения с этим периодом. Уравнение для нахождения границ имеет вид условия равенства нулю некоторого бесконечного определителя

Границы второй, четвертой и т. д. областей неустойчивости ищем из условия существования -периодического решения. В результате приходим к уравнению

Приближенные аналитические и численные результаты можно получить, рассматривая конечные определители, соответствующие усеченным рядам Фурье. В первом приближении (с точностью до членов порядка границы областей неустойчивости находят по формуле

из которой видно, что ширина области зависит в первую очередь от соответствующих коэффициентов Фурье в разложении (32).

Влияние диссипации на устойчивость параметрически возбуждаемых систем. Параметрические колебания системы с одной степенью свободы описываются уравнением (20). Согласно (22) области неустойчивости при лежат внутри соответствующих областей уравнения (23), но могут быть смещены относительно областей неустойчивости уравнения (21). Наличие демпфирования делает невозможным параметрическое возбуждение при достаточно малых При этом влияние демпфирования тем сильнее, чем выше порядок побочного параметрического резонанса. Типичные области неустойчивости для уравнения Матье с демпфированием

приведены на рис. 6.

Расчет границ областей неустойчивости при наличии диссипации. На границах уравнение (20) имеет решение с периодом или Условие существования этих решений для случая (36) приводит к уравнению для нахождения границ первой, третьей и т. п. областей неустойчивости:

где частотное отношение; декремент свободных колебаний. Аналогичный вид имеет уравнение для границ областей четного порядка:

Приближенный расчет производят с использованием усеченных определителей [9]. Для главного параметрического резонанса

Границы следующей области неустойчивости могут быть найдены по формуле

и т. д. Более точные формулы получаются путем систематического разложения по степеням малого параметра

Критические значения коэффициентов возбуждения. Наименьшее значение коэффициента возбуждения, при котором возможно возникновение неустойчивости, называют критическим. Приближенное критическое значение для главного параметрического резонанса в системе, описываемой уравнением (20), легко найти из соотношения (39):

Для второго резонанса аналогично получаем

Вообще для области неустойчивости