Глава XVI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН И УДАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В УПРУГИХ СИСТЕМАХ

1. ВОЛНЫ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ

Под упругими волновыми процессами понимают динамическое распространение возмущений напряженно-деформированного состояния в упругой среде или упругих телах.

Исходные уравнения. Процесс распространения волн в упругой среде описывается динамическими уравнениями Ламе (26) гл. VIII, которые после введения вектора перемещений могут быть записаны в форме

Вектор перемещений раскладывается на эквиволюмиальную и безвихревую составляющие:

Здесь скалярный и векторный потенциалы, удовлетворяющие системе независимых друг от друга волновых уравнений

Эти уравнения описывают два типа волн, которые могут существовать в неограниченной упругой среде. Эти волны распространяются с постоянными скоростями

Со скоростью распространяются безвихревые возмущения, описываемые потенциалом Волны этого типа называют дилатационными, или волнами расширения-сжатия. Со скоростью распространяются вихревые возмущения при неизменном объеме, описываемые векторным потенциалом Волны этого типа называют эквиволюмиальными (волнами искажения, волнами сдвига).

Отношение скоростей распространения волн искажения и волн расширения-сжатия зависит только от коэффициента Пуассона

Поскольку то отношение меняется в пределах

Замечание 1. Если возмущения распространяются только в одном направлении, например в направлении оси и перемещения зависят только от одной координаты то из уравнения (1) следует

Первое уравнение описывает распространение продольных возмущений, поэтому с называют скоростью продольных волн. Второе и третье уравнения описывают распространение поперечных возмущений, и поэтому с называют скоростью поперечных волн.

Замечание 2. Решение уравнения (I) может быть записано для прямоугольной системы координат в форме (решение Даламбера)

либо для сферически симметричного случая (когда и зависит только от радиуса ) в форме

Здесь направляющие косинусы; с — соответствующая скорость распространения. Два слагаемых, входящие в (10) и (11), описывают волиы, распространяющиеся в двух противоположных направлениях. Функции определяют начальных условий.

Понятия о дисперсионном уравнении. Фазовая и групповая скорости. Анализ одномерных волновых явлений в неограниченной среде или среде с граничными поверхностями может быть осуществлен на основе уравнения

где обобщенная вектор-функция перемещений; матричный оператор, коэффициенты которого являются полиномами от операторов и Исследование волновых явлений приводит к изучению поведения бесконечной гармонической (монохроматической) волны

характеризуемой волновым числом частотой и длиной волны — Величина входящая в (13), — комплексная амплитуда (физический смысл имеет Из уравнения (12) для вида решения (13) нетрудно получить связь между волновым числом и частотой со:

Уравнение типа (14) называют дисперсионным. В результате решения этого уравнения находят зависимость частоты от волнового числа

Фазовой скоростью называют скорость распространения монохроматической волны (13)

Групповой скоростью называют скорость распространения пакета волн, волновые числа которых лежат вблизи заданных значений и со (совокупность волн с близкими длинами). Со скоростью, равной групповой скорости, переносится энергия ролновых движений с заданными значениями и Групповую скорость определяют по формуле

Если с определенная согласно (15), не зависит от волнового числа или от длины волны X, то форма волны при распространении не изменяется (волна распространяется без дисперсии). В противном случае форма волны меняется за счет разной скорости распространения отдельных компонент. Если (или ), то и энергия в этом случае переносится медленнее, чем распространяется монохроматическая волна. Это явление называют нормальной дисперсией. Если (или ), то Скорость переноса энергии больше, чем скорость монохроматической волны. Это явление называют аномальной дисперсией.