4. ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Уравнения движения диссипативной системы с конечным числом степеней свободы под действием гармонических сил можно записать в форме

Матрица коэффициентов демпфирования В без ограничения общности может рассматриваться как симметричная. Среди диссипативпых систем с конечным числом степеней свободы различают системы с полной и неполной диссипацией. К первым относят системы, для которых диссипативная функция Релея является положительной матрица В при этом является положительно определенной. Для систем с неполной диссипацией функция Релея является неотрицательной, а матрица В — неотрицательно определенней.

Диссипация существенно влияет на установившиеся вынужденные коелбания. Для систем с полной диссипацией амплитуды при резонансах становятся конечными, исчезают антирезонансы, сдвиги по фазам колебаний для обобщенных координат не равны и

Непосредственное решение. Получается путем представления вектора в виде

Компоненты векторов находят из системы уравнений

Уравнения (21) для систем с полной диссипацией обладают отличным от нуля определителем и, следовательно, всегда имеют единственное решение. В системе с неполной диссипацией возможны случаи отсутствия единственного решения (наличие бесконечных значений амплитуд при определенных собственных частотах).

Применение метода комплексных амплитуд. Вместо уравнения (19) следует рассмотреть

Записывая решение уравнения (22) в виде для комплексной амплитуды получим уравнение откуда

где вектор статических смещений под действием амплитудных значений внешней нагрузки.

Решение исходного уравнения (19) можно записать следующим образом:

Метод комплексных амплитуд является предпочтительным при аналитическом решении задачи об установившихся вынужденных колебаниях систем с конечным числом степеней свободы.

Использование главных нормальных координат. Решение задачи об установившихся вынужденных колебаниях в диссипативных системах с конечным числом степеней свободы может быть получено при введении главных нормальных координат

для соответствующей системы без диссипации. Использование преобразования (15) с учетом (16) приводит к уравнениям

В общем случае матрица не является диагональной и разделения на независимые уравнения не происходит (между вновь введенными парциальными системами имеются диссипативные связи). В двух случаях имеет место полное разделение: в случае внешнего трения, когда матрица коэффициентов демпфирования пропорциональна матрице инерционных коэффициентов Тогда в случае внутреннего трения, когда матрица коэффициентов демпфирования пропорциональна матрице квазиупругих коэффициентов

Приближенное решение получают, если в преобразованной системе пренебрегают диссипативными связями (пренебрежение недиагональнымн элементами матрицы предположении, что Это приводит к разделяющейся системе уравнений

Решение каждого из этих уравнений, соответствующее установившимся колебаниям, имеет вид

Решение в исходных обобщенных координатах получается как сумма