ГЛАВА XVIII. СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

1. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Основные понятия. Пусть некоторая система находится во взаимодействии с окружающей средой. Состояние системы характеризуется элементами и из пространства а внешнее воздействие — элементами из пространства Система задается оператором посредством которого каждой реализации процесса приводится в соответствие реализация процесса и

Уравнение (1) разрешается относительно если существует оператор

Далее случайные функции обозначены строчными, а их коэффициенты (образы) Фурье — соответствующими прописными буквами.

Большая часть задач теории колебаний формулируется при помощи дифференциальных уравнений относительно вектора состояний, т. е. в форме (2). Переход к соотношению (1) обычно требует построения функции Грина для данной системы дифференциальных уравнений.

Классификация систем. Будем считать в дальнейшем, что внешнее воздействие следовательно, состояние системы являются случайными процессами, а операторы (если не оговорено) — детерминистическими; соответствующие системы также будем называть детерминистическими системами в отличие от стохастических, свойства которых также случайны.

Систему, описываемую уравнением (1), называют линейной, если для любых и произвольных чисел выполняется условие

В противном случае систему называют нелинейной. Линейность дифференциальных уравнений и дополнительных условий относительно еще не означает линейности оператора Так, параметрические системы нелинейны по отношению к параметрическим возмущениям, что находит отражение, например, в методах их аналитического исследования (см. гл. XIX). Как и в теории детерминистических колебании, вводятся понятия о стационарных и нестационарных системах, о системах с конечным, бесконечным счетным и континуальным числом степеней свободы. Операторное уравнение (2) для распределенных систем обычно реализуется в виде дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими граничными и начальными условиями. Поэтому применительно к задачам случайных колебаний распределенных систем применяют также термин стохастическая краевая задача.

Классификация задач теории случайных колебаний. Основная (первая) задача заключается в отыскании вероятностных характеристик состояния системы по заданным вероятностным характеристикам внешнего воздействия и (или) системы. Если внешнее воздействие задано вероятностными распределениями, то ставится задача о нахождении вероятностных характеристик вектора состояния. Если внешнее воздействие задано его моментами, например, математическими ожиданиями и корреляционными функциями, то ставится задача об отыскании аналогичных характеристик вектора состояния и т. п.

Вторая задача теории случайных колебаний — обратная по отношению к первой — состоит в отыскании характеристик внешних воздействий по известным вероятностным характеристикам вибрационного поля. Решение этой задачи может существенно осложниться при задании неполной информации относительно вибрационного поля или при наличии случайных помех.

Третья задача заключается в определении оператора системы или ее параметров по известным характеристикам на входе и выходе системы. Эту задачу называют задачей идентификации. Если структура системы и часть ее параметров известны, то цель задачи состоит в отыскании остальных параметров. Такие задачи возникают в технической диагностике и, в частности, в вибрационной диагностике, где на основании измерений и надлежащей статистической обработки вибрационного поля делают заключения о техническом состоянии системы и о ее надежности.

Четвертая задача предусматривает синтез систем, обладающих заданными свойствами по отношению к некоторому классу внешних воздействий. Пример такой задачи — подбор оптимальной структуры и оптимальных параметров виброзащитных систем при случайных воздействиях (см. гл. XXI).