2. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ

Дифференциальные уравнения. Пусть одна из координат, к которым отнесена оболочка, отсчитывается вдоль образующей, а вторая — в окружном направлении, тогда параметры Ламе равны Входящие в (1) дифференциальные операторы имеют вид

Уравнения технической теории получаются, если в операторах, кроме опустить члены, содержащие цилиндрическую жесткость

Если пренебречь тангенциальными силами инерции и использовать техническую теорию, то после введения функции усилий уравнения принимают вид

При применении этой системы тангенциальные краевые условия должны быть выражены через функцию усилий Например, условия свободного опирания, аналогичные условиям Навье (условия Власова), можно записать следующим образом

Краевые условия Навье. Условиям свободного опирания при удовлетворяют функции

Параметр равен числу полуволн формы колебаний в продольном направлении, а числу волн в окружном направлении. Число узловых линий формы колебаний, параллельных образующей, равно а в окружном направлении (не считая опорных линий). Случай соответствует осесимметричным формам колебаний цилиндрической оболочки, а балочной форме колебаний.

Подстановка (8) в (1) при учете (4) приводит к системе линейных однородных уравнений для из условия существования ненулевого решения которой следует

где

Уравнение (9) является кубическим относительно квадрата частоты Паре чисел соответствуют три значения частоты, каждому из которых отвечает своя форма колебаний, характеризующаяся отношением Это отношение получается как ненулевое решение системы для при равенстве со одной из найденных

частот. Итак, имеются три серии частот, отвечаюдих преимущественно нормальным формам колебаний, преимущественно крутильным и преимущественно продольным формам колебаний. При осесимметричных колебаниях крутильные колебания не связаны с продольно-поперечными колебаниями. Полное разделение форм колебаний возможно в осесимметричном случае при

Для случая преимущественно нормальных форм колебаний могуг быть использованы уравнения (6). Решение в форме

приводит к следующей формуле для частоты:

где

Формула (11) позволяет исследовать влияние волновых чисел на величины собственных частот преимущественно нормальных форм колебаний. Минимум по достигается при так что наименьшей частоте соответствует форма с одной полуволной в продольном направлении (безузловая форма в продольном направлении); минимум по имеет место вблизи или с учетом обозначений (12) вблизи

Рис. 1. Зависимость безразмерной частоты нормальной формы колебаний опертой цилиндрической обо лочки от волнового числа Для разных чисел оолн в окружном направ лении

Следовательно, чем меньше отношение длины оболочки к радиусу и отношение тем больше На рис. 1 приведены зависимости безразмерной частоты нормальной формы колебаний отертой по торцам круговой цилиндрической оболочки от волнового числа для разных чисел волн в окружном направлении при Минимальной частоте оболочки может соответствовать число от 2 до 6 (и более).

Произвольные краевые условия. Задача о собственных колебаниях круговой цилиндрической оболочки постоянной толщины допускает точное решение при любых краевых условиях (однородных в окружном направлении). Подстановка

приводит задачу к одномерной для системы с постоянными коэффициентами

(уравнения выписаны для технической теории при Разделение происходит и в краевых условиях. Так, в случае заделки условия имеют вид

Общее решение (14) можно записать следующим образом:

где корни характеристического уравнения, соответствующего системе (14):

постоянные являющиеся ненулевым решением системы, получаемой из (14) при Удовлетворение краевых условий приводит к однородной системе алгебраических уравнений относительно равенство нулю определителя которой дает уравнение частот. Процесс нахождения собственной частоты состоит в последовательном подборе значения удовлетворяющего уравнению частот с предварительным нахождением для каждого фиксированного со корней уравнения (17), определением коэффициентов и вычислением левой части уравнения частот, являющейся

Рис. 2. Зависимость низшей частоты цилиндрической оболочки от числа волн в окружном направлении для различных сочетаний краевых условий: 1 — свободный край — свободный край; 2 — заделка — заделка; 3 — опирание — заделка; 4 — опирание — опираиие; 5 — заделка — свободный край; 6 — опирание—свободный край

Рис. 3. Зависимость низших частот для защемленной цилиндрической оболочки от

определителем восьмого порядка. При этом часть корней и коэффициентов оказываются комплексными; это необходимо учитывать при проведении вычислений. В [87] можно найти обширные числовые данные определения частот при различных соотношениях В качестве примера приведем зависимость низшей частоты для различных видов краевых условий от числа волн в окружном направлении (рис. 2) и зависимости безразмерных значений низшей частоты сок от при различных (рис. 3).

Полуэмпирические формулы. Различными авторами были предложены полуэмпирические приближенные формулы для вычисления собственных частот преимущественно изгибных колебаний круговых цилиндрических оболочек с заделанными торцами. В качестве примера приведем формулу

где