2. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ

Собственные частоты. Решение уравнения (16), соответствующее гармоническим колебаниям с частотой и начальной фазой х, имеет вид

Здесь постоянный вектор (матрица-столбец), характеризующий соотношение между различными обобщенными координатами в решении данного вида. Частота и вектор удовлетворяют матричному уравнению

эквивалентному системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно компонентов вектора Условие существования ненулевого решения однородной системы (22) приводит к характеристическому уравнению

или в развернутой форме

Число положительных корней этого уравнения равно числу степеней свободы Согласно уравнению (21) эти корни представляют собой угловые частоты свободных колебаний линейной системы, называемые собственными частотами системы. Упорядоченную совокупность собственных частот

называют спектром собственных частот (данной системы).

Характеристическое уравнение (23) или (24) называют уравнением собственных частот. Его можно представить в одной из следующих эквивалентных форм:

В развернутом виде последняя форма уравнения имеет вид

Собственные формы колебаний. Как уже указывалось, вектор характеризует соотношение между обобщенными координатами при колебаниях с частотой Каждой собственной частоте соответствует вектор характеризующий форму колебаний системы с этой собственной частотой. Векторы называются собственными формами колебаний или просто собственными формами.

Собственные формы определяются из однородной системы (22) после подстановки в нее соответствующих собственных частот. Если собственная частота простой корень уравнения (23), то ранг системы (22) равен Пусть отбрасывание последнего уравнения системы дает систему линейно независимых уравнений. Тогда для определения компонентов вектора

получаем систему уравнений

Форма колебаний определяется при этом с точностью до произвольного постоянного множителя.

Если собственная частота имеет кратность то ранг системы (22) равен . Пусть переменные занумерованы так, что независимыми оказываются первые уравнений

Решение этой системы содержит произвольных постоянных, которые могут быть выбраны так, чтобы получить независимых собственных форм, соответствующих -кратной собственной частоте Итак, каждой собственной частоте соответствует собственная форма колебаний. Дополняя спектр собственных частот (25) совокупностью собственных форм

образуем спектр собственных колебаний системы.

Свойства собственных частот и собственных форм колебаний. Как следует из урав нения (22), квадраты собственных частот равны собственным значениям матрицы а собственные формы равны собственным векторам этой матрицы. Поскольку матрица симметризуемая и положительно определенная, то из известных теорем линейной алгебры следует.

1) все собственные частоты действительны;

2) собственные формы, соответствующие различным собственным частотам, попарно ортогональны с весом матрицы А, т. е.

В развернутой форме это соотношение имеет вид

3) собственные формы, соответствующие различным собственным частотам, по парно ортогональны с весом матрицы С:

Запишем это условие ортогональности в развернутом виде:

4) собственные формы являются линейно независимыми и образуют базис в n-мерном векторном пространстве

В случае кратных собственных частот всегда можно провести соответствующую ортогонализацию линейно независимых векторов; поэтому перечисленные свойства в полной мере распространяются на кратные частоты.

Обобщенные соотношения ортогональности (32) и (34) имеют энергетический смысл. Входящие в эти условия билинейные формы аналогичны квадратичным формам кинетической и потенциальной энергии соответственно. Условие (32) называют условием ортогональности по кинетической энергии, условие (34) — ортогональности по потенциальной энергии.