5. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ

Техническая теория. Рассмотрим стержень длины I с прямолинейной осью переменного, но незакрученного сечения, совершающий изгибные колебания в плоскости направлена вдоль оси стержня и проходит через центры тяжести сечений, оси являются главными, так что

Предположим, что поперечные сечения при деформировании остаются плоскими и перпендикулярными к деформированной оси стержня, а нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, пренебрежимо малы. Существенными из компонент тензоров напряжений и деформаций являются только Растяжением оси пренебрегают. Потенциальная энергия деформации и кинетическая энергия связаны с прогибом стержня следующим образом:

где - момент инерции сечения относительно (см. табл. 4). Изгибные колебания стержня описывают уравнением

Основные типы граничных условий сведены в табл. 6. Начальные условия аналогичны (66).

Учет продольных сил. Если в сечениях стержня действует продольная сила то вместо (83) следует пользоваться уравнением

Геометрические граничные условия и условия, содержащие изгибающий момент не изменяются. В условия, содержащие поперечную силу должно быть внесено ее новое выражение

Уточненная теория Тимошенко изгибиых колебаний стержней. Техническую теорию изгиба стержней применяют, когда масштаб изменения напряженно-деформированного состояния вдоль оси стержня велик по сравнению с характерным размером поперечного сечения в направлении оси Если указанные величины сопоставимы, то применяют уточненные теории, в которых учтены поперечные сдвиги и инерция поворота сечений. В уточненной теории Тимошенко введены предположения: поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными деформированной оси стержня; нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, равны нулю; учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом сечений. Потенциальная энергия деформации

(см. скан)

Продолжение табл. 4 (см. скан)

Здесь средний угол сдвига; коэффициент, зависящий от характера распределения сдвигов по сечению и способа определения среднего значения для угла сдвига. Если под (3 понимают среднеквадратическое значение

а касательные напряжения при изгибе определяют по формуле Д. И. Журавского

поперечная сила; статический момент части сечения, отсеченного плоскостью ширина поперечного сечения при то

Для прямоугольного сечения

Кинетическая энергия

Изгибные колебания стержней по уточненной теории описывают системой уравнений

Альтернативные краевые условия имеют вид

Между функциями существует связь

которая позволяет из уравнений (90) исключить Так свободные колебания стержня постоянного поперечного сечения будут описываться уравнением

которое известно как уравнение Тимошенко.

В дополнение к краевым условиям (91) (два условия на каждом конце стержня) необходимо задать четыре начальных условия

Уравнения изгибных колебаний криволинейных стержней. Считаем, что ось стержня лежит в плоскости, которая совпадает с главной плоскостью инерции сечения стержня и с плоскостью действия сил. Стержень отнесен к криволинейной системе координат по оси стержня). Кроме того, предполагаем, что где характерный размер сечения, начальный радиус кривизны.

Для потенциальной энергии деформации и кинетической энергии имеем выражения

Уравнения колебаний криволинейного стержня будут следующими:

При распадаются на два независимых уравнения, описывающих продольные и изгибные колебания стержня. В общем случае на концах стержня должно быть поставлено по три условия. Альтернативные условия имеют вид

Начальные условия

Если деформацией оси стержня можно пренебречь, то из уравнений (96) следует

Замена — приводит к уравнению шестого порядка для а

Соответствующее уравнение для стержня с круговой осью и постоянными параметрами можно записать в виде

Это уравнение является уравнением изгибиых колебаний кольца. Если, кроме того, кольцо загружено радиальной постоянной нагрузкой то

Уравнения изгибно-крутильных колебаний стержней. Считаем, что стержень имеет прямолинейную ось и незакрученное поперечное сечеиие. На основе допущений элементарной теории изгиба и теории кручения и учета эффектов депланации получают следующие выражения для кинетической энергии и потенциальной энергии деформации:

где — координаты центра изгиба. Перемещения центра изгиба сечения в направлении осей и угол закручивания удовлетворяют уравнениям

где полярный момент инерции относительно центра изгиба. Если то (104) разделяются на уравнения изгибных колебаний в двух в аимно перпендикулярных плоскостях и уравнение крутильных колебаний. Альтернативные концевые условия для общего случая имеют вид