Глава XIX. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Понятие о параметрически возбуждаемых случайных колебаниях. В гл. VII были рассмотрены параметрические колебания в линейных системах, возбуждаемые детерминистическими воздействиями В технических приложениях часто встречаются также случайные параметрические воздействия. Любой пример из первой частн (гл. VII) можно сформулировать в терминах теории случайных колебаний, если параметрическое воздействие является случайной функцией времени.

К случайным параметрическим воздействиям, которые могут поддерживать незатухающие колебания системы типа параметрических резойансов в соответствующих детерминистических системах, относят, например, стационарные и периодически нестационарные воздействия. Распространение теории параметрических

колебаний на стохастические системы требует введения определений стохастической устойчивости, которые могут быть введены по-разному [56, 122]. Наиболее употребительные из них приведены ниже.

Устойчивость по вероятности. Пусть состояние системы в каждый момент времени описывается случайным вектором в некотором фазовом пространстве Эволюция системы описывается дифференциальным уравнением

где матрица соответствующей размерности с элементами — случайными функциями времени. Эта матрица может также зависеть от х (0- Пусть уравнение (1) имеет тривиальное решение Начальное условие

будем считать детерминистическим. В пространстве введем норму По аналогии с классическим определением устойчивости по Ляпунову (см. гл. V) введем определение устойчивости по вероятности. Решение стохастического уравнения (1) называют устойчивым по вероятности, если для любых можно найти такое что

Смысл соотношения (3) состоит в том, что при устойчивом решении начальные возмущения всегда можно выбрать такими, что вероятность больших отклонений системы при от начала координат будет меньше любого наперед заданного значения

Решение называют асимптотически устойчивым по вероятности, если оно устойчиво по вероятности и, кроме того, при любом выполняется условие

Аналогично вводят понятия неустойчивости по вероятности, устойчивости по вероятности на ограниченном интервале времени и т. п.

Устойчивость по математическому ожиданию нормы и родственные определения. Некоторые определения могут быть введены на основе числовых характеристик, связанных с вероятностью, которая входит в определение (3).

Решение называют устойчивым по математическому ожиданию нормы в пространстве если для любых можно найти такое, что

Решение называют асимптотически устойчивым по математическому ожиданию нормы если оно устойчиво по математическому ожиданию нормы и, кроме того, выполняется условие

Решение называют экспоненциально устойчивым по математическому ожиданию нормы если существуют такие постоянные что при любом

Обычно норму в вводят соотношением

В этом случае говорят о -устойчивости. При имеем устойчивость в среднем квадратическом.

Устойчивость по совокупности моментных функций. Рассмотрим моментные функции случайного векторного процесса моменты первого порядка (математические ожидания компонентов), моменты второго порядка (математические ожидания квадратов и попарных произведений компонентов) и т. д., используя для этого обозначение

где число индексов означает порядок момента. Сформируем вектор моментных функций до порядка включительно [122]:

Его размерность существенно уменьшается, если использовать свойства симметрии моментных функций (9). Соответствующее евклидово пространство обозначим через Норму вектора обозначим через причем

Решение называют устойчивым по совокупности моментных функций до порядка включительно, если для каждого можно найти такое что

Решение называют асимптотически устойчивым по совокупности моментных функций до порядка включительно, если оно устойчиво по этой совокупности и, кроме того,

В дальнейшем будем использовать термины устойчивость и асимптотическая устойчивость в пространстве

Связь между определениями стохастической устойчивости. Между некоторыми из введенных определений существует связь. Например, если решение устойчиво в среднем квадратическом, то оно устойчиво по вероятности (обратное утверждение, вообще говоря, неверно). Устойчивость в пространстве по существу эквивалентна устойчивости в среднем, а устойчивость в пространстве грубо говоря, отвечает совокупности требований устойчивости в среднем и среднем квадратическом. В формулировку условий устойчивости по совокупности моментных функций входит математическое ожидание от нормы моментов в начальный момент времени, что включает в рассмотрение случайные начальные условия.