6. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГО ПОДВЕШЕННОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Определение положения твердого тела. Наряду с неподвижной системой осей введем систему подвижных осей жестко связанную с телом. В начальный момент времени полюса обеих систем совместим с центром масс тела (рис. 5). В качестве обобщенных координат выберем перемещения центра масс тела и три угла поворота тела относительно осей инерциальной системы Положительные направления обобщенных координат показаны на рис. 6.

Рис. 5. Упруго подвешенное твердое тело

Рис. 6. Положительные направления обобщенных координат

Будем предполагать, что линейные и угловые перемещения твердого тела при колебаниях достаточно малы, чтобы величинами второго и более высоких порядков малости можно было пренебречь. Тогда кинематические соотношения [см. формулу (73) гл. II] примут вид

Матрица инерционных коэффициентов. Если система подвижных осей совпадает с главными центральными осями инерции твердого тела, то матрица инерционных коэффициентов

где масса твердого тела; главные центральные моменты инерции твердого тела.

Матрица жесткостей упругого подвеса. Предположим, что упругий подвес состоит из произвольно ориентированных амортизаторов. Каждый амортизатор не обладает вращательной жесткостью и может быть представлен в виде системы трех упругих взаимно перпендикулярных элементов, направленных по главным осям жесткости амортизатора. Главные оси жесткости образуют систему координатных осей называемую в дальнейшем системой осей (см. рис. 5). Внешняя сила, приложенная к амортизатору в направлении одной из его главных осей жесткости, деформирует его по направлению силы.

4. Косинусы углов между осями

(см. скан)

Координаты точки крепления амортизатора к телу обозначим через ориентацию осей системы будем задавать направляющими косинусами (табл. 4). Обозначим через коэффициенты жесткости амортизатора в направлении соответствующих осей системы координат. Матрица квазиупругих коэффициентов упругого подвеса имеет вид

Элементы этой матрицы выражаются через коэффициенты жесткости всех амортизаторов, образующих упругий подвес [5]:

(см. скан)

Главные оси жесткости и центр жесткости упругого подвеса. Выражение определяет эллипсоид жесгкостей упругого подвеса. Если система неподвижных осей параллельна главным осям жесткости подвеса, то

матрица С принимает вид

В этом случае можно найти три непересекающиеся друг с другом прямые которые параллельны соответствующим осям и для которых выполняются условия Эти прямые являются осями поступательной жесткости упругого подвеса [27]. На плоскости ось жесткости проектируется в точку, координаты которой

Диалогичным образом можно определить положение оси жесткости параллельной оси

и положение оси жесткости параллельной оси

Если в число координатных осей, параллельных главным осям эллипсоида, включить одну из осей поступательной жесткости или то обращаются в нуль коэффициенты жесткости, являющиеся числителями в выражениях (77), (78), (79), а в матрице (76) по каждую сторону от главной диагонали появятся еще два нулевых элемента. При некотором упорядоченном расположении амортизаторов три оси жесткости могут пересекаться в одной точке главном центре жесткости упругого подвеса. В этом случае эти оси являются главными центральными осями жесткости подвеса. Если неподвижную систему осей совместить с осями то матрица жесткости С примет вид

Здесь элементы матрицы

характеризуют поступательные жесткости подвеса, а элементы

— его вращательные жесткости.

Уравнение собственных частот. Матричную форму уравнений свободных колебаний упруго подвешенного тела можно записать так:

где — вектор, характеризующий перемещение тела при колебаниях; А — матрица инерционных коэффициентов (71); С — матрица упругих

коэффициентов (72). Характеристическое уравнение для определения собственных частот вид

Разделение форм колебаний. Возможные разделения обобщенных координат на группы по формам колебаний определяют наличием у упругого подвеса центра жесткости а также взаимным расположением осей и осей жесткости

5. Варианты разделения обобщенных координат при свободных колебаниях

(см. скан)

Пример, Центр жесткости упругого подвеса совпадает с центром масс тела главные Нейтральные оси инерции и жесткости не совпадают. Возможные варианты разделения обобщенных координат на две группы по три координаты в каждой сведены в табл 5; здесь же указаны коэффициенты жесткости, которые должны быть равны нулю, чтобы такое разделение координат было возможным. Например, для варианта № 1 (табл. 5) система уравнений (83) распадается на две независимые с тремя уравнениями в каждой. Уравнение частот (84) примет вид

Пример. Цеитр жесткости упругого подвеса совпадает с центром масс тела одна из главных осей жесткости подвеса (например, ось совпадает с одной из главных центральных осей инерции тела (например, с осью Матрицу С (72) можно записать в внде

Пример. Центр жесткости упругого подвеса совпадает с центром масс тела О, главные центральные оси инерции и жесткости совпадают Матрица С (72) принимает вид элементы которой определяются формулами Система уравнений (83) распадается на шесть независимых уравнений.