3. УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ

Предварительные замечания. Свойства общего решения (8) уравнения (1) характеризуют поведение фазовых траекторий колебательной системы в окрестности ее положения равновесия и определяют свойство этого решения — устойчивость по отношению к малым возмущениям начальных условий, малым возмущениям коэффициентов и к добавлению малых внешних сил. Строгое определение устойчивости соответствует определению устойчивости по Ляпунову. Чтобы ввести это определение, запишем уравнение (1) относительно -мерной матрицы-столбца фазовых переменных х

где матрица размерностью

Равновесию системы соответствует тривиальное решение уравнения (20). Близость решения к положению равновесия будем оценивать одной из норм типа

др. Определения устойчивости будем формулировать применительно к частному случаю равновесия.

Определение устойчивости по Ляпунову. Равновесие называют устойчивым по Ляпунову, если для любого можно найти такое что из условия следует неравенство В противном случае равновесие называют неустойчивым.

Практически устойчивость по Ляпунову означает, что при достаточно малых начальных возмущениях фазовые траектории системы будут достаточно мало отклоняться от положения равновесия. Неустойчивость равновесия означает, что система может удалиться от положения равновесия даже в том случае, если начальные возмущения сколь угодно малы.

Равновесие называют асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, выполняется условие

Рис. 3. К понятию устойчивости по Ляпунову

Графическая иллюстрация определения устойчивости по Ляпунову на примере двухмерного фазового пространства дана на рис. 3.

Теоремы об устойчивости линейных автономных систем. Устойчивость равновесия линейной автономной системы, движение которой описывается уравнением (1), полностью определяется свойствами характеристических показателей корней характеристического уравнения (6) или, что то же, корней уравнения

Здесь матрица (21).

Равновесие системы устойчиво по Ляпунову, если действительные части всех характеристических показателей неположительны, причем чисто мнимые характеристические показатели с нулевой действительной частью — либо простые, либо имеют простые элементарные делители.

Равновесие системы асимптотически устойчиво, если все характеристические показатели имеют отрицательные действительные части.

Равновесие системы неустойчиво, если среди характеристических показателей имеется хотя бы один с положительной действительной частью.

Четыре наиболее типичных случая расположения характеристических корней на комплексной плоскости представлены на рис. 1. Равновесие диссипативной системы (12) с одной степенью свободы будет асимптотически устойчиво при устойчиво по Ляпунову при и неустойчиво при

Наиболее труден для исследования случай устойчивости по Ляпунову при кратных показателях с нулевыми действительными частями. Техника установления структуры элементарных делителей связана с приведением матриц к нормальной форме Жордана и излагается в руководствах по линейной алгебре. Здесь ограничимся указанием на то, что неустойчивость при кратных чисто мнимых показателях с непростыми элементарными делителями связана с наличием у уравнения (1) частных решений вида где полиномы, степень которых не больше, чем степень кратности показателя минус единица. Если матрицы симметричные, то все кратные чисто мнимые характеристические показатели имеют простые элементарные делители.

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Линейные уравнения типа (1) обычно получают путем линеаризации более полных и точных нелинейных уравнений. Ответ на вопрос, при каких условиях выводы об устойчивости равновесия линеаризованной системы могут быть отнесены к соответствующей нелинейной системе, дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Пусть уравнения нелинейной системы отличаются от линеаризованных уравнений нелинейными членами, которые являются непрерывными и дифференцируемыми функциями фазовых переменных и времени. Если положение равновесия линейной системы асимптотически устойчиво, то равновесие нелинейной системы будет устойчиво по Ляпунову независимо от нелинейных членов.

Если при тех же условиях среди характеристических показателей линейной системы найдется хотя бы один, имеющий положительную действительную часть, то равновесие нелинейной системы будет неустойчиво независимо от нелинейных членов.

Теорема Лагранжа об устойчивости консервативных систем. Пусть система с голономными стационарными связями находится в равновесии под действием одних консервативных сил. Если потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия изолированный минимум, то это положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

Эту теорему использовали ранее при рассмотрении малых свободных колебаний консервативных систем.

Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость равновесия (движения) линейных систем. Приведенные ниже теоремы, связанные с именами Кельвина и Тета, относятся к изменению характера устойчивости систем, находящихся под действием консервативных позиционных сил, при добавлении диссипативных и (или) гироскопических сил [114].

Равновесие, устойчивое при одних консервативных силах, становится асимптотически устойчивым при добавлении диссипативных сил с полной диссипацией, а также диссипативных сил с полной диссипацией и гироскопических сил.

Равновесие, устойчивое при одних консервативных силах, остается устойчивым при добавлении диссипативных сил (не обязательно обладающих полной диссипацией) и (или) гироскопических сил.

Равновесие, неустойчивое при одних консервативных силах, может быть стабилизировано путем добавления гироскопических сил только в том случае, если степень неустойчивости (число отрицательных коэффициентов у квадратичной формы потенциальной энергии) четная.

Равновесие, неустойчивое при одних консервативных силах, не может быть стабилизировано добавлением гироскопических сил и диссипативных сил, если последние обладают полной диссипацией.